[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 71 (1002ﾚｽ)
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170(2): 2024/04/26(金)18:32 ID:em70EpiX(4/4) AAS
検索キーワード：環上の行列 ランク pdf
１）下記の琉球大学工学部 システム工学I 第10回 環上の線形代数がヒット
最近は、こんなことを教えるんだｗ
２）別に、代数学II：環と加群 松本眞1 平成30年4月9日 1広島大学理学研究科
単因子論で、”Mn,m(R)でn×mのR成分の行列の集合をあらわす。ランクnmの自由R加群となる”とある
参考文献、「代数学II環上の加群」桂利行著か。なるほど
(参考)
外部ﾘﾝｸ:www.google.com
外部ﾘﾝｸ:dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp
琉球大学工学部 電気システム工学コース 半塲 滋
システム工学I 2016 20180415
外部ﾘﾝｸ[pdf]:dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp
システム工学I 第10回 半塲 滋
環上の線形代数
P45-46
多項式行列(32)
rank(A1(x) A2(x))
mが任意のxについて成り立つから、そのSmith
標準形の階数はxに依存しないから・・
(引用終り)
という記述がある
何を言っているのか、つまみ食いではさっぱりですが
環上の線形代数でも、特殊なケース（Smith標準形？）で行列
のrank（or 階数）を考えることができるようですね
なお、環上でない 普通のrank（or 階数）は
第9回 で扱われています 外部ﾘﾝｸ[pdf]:dsl4.eee.u-ryukyu.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp
代数学II：環と加群 松本眞1 平成30 年4月9日 1広島大学理学研究科
第1章 環上の加群
参考文献• 「代数学II環上の加群」桂利行著 東京大学出版会:入手しやすい。おおむねこれに沿って講義する。以下、「参考書」といったらこれを指す。
Ｐ９
1.4 単因子論
行列について。Rを可換環とする。Mn,m(R)でn×mのR成分の行列の集合をあらわす。ランクnmの自由R加群となる。n =mのとき、Mn(R)で表す。積が入り、単位環となる。その積に関する（モノイドの）可逆元の集合Mn(R)× は群をなす。これをGLn(R)で表す。A∈Mn(R) がGLn(R)に入る必要十分条件は、AB=En=BAなるBが存在することになる。このような行列を可逆行列という。
P10
RをPIDとする。任意のA∈Mm,n(R)に対し、あるP ∈GLm(R)とQ∈GLn(R)が存在して、PAQが次の形になる。
略 (1.2)
ここに、空白は0をあらわし、e1|e2, e2|e3,..., es−1|es, es= 0である。Aに対してe1,...,esは単元（すなわちR×の元）倍を除いて一意に決まる。e1,...,esをAの単因子（elementary divisor）という。(1.2) をAの単因子形という。(不変因子形という書物もある。)上の形だと正方行列っぽく見えるが実はm×n行列であることと、右下の0は存在しないかもしれないこと、s=0(すなわち０行列)のこともあることを注意しておく。
Rが体のときには、線形代数でならっていると思う: eiは全て1にとることができ、sが行列のランクとなる。
まず、定理の前半（P,Qの存在）を証明する。RがEuclid整域の場合証明から計算方法がわかるので、一般のPIDでなくRがEuclid整域の場合をまずやる。R=ZやK[t]（Kは体）が代表的である。これらの環における互除法については既知とする。３種の基本変形行列を用いる
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