分からない問題はここに書いてね 472 (933ﾚｽ)
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229(1): 2024/09/23(月)00:43 ID:PuFOgYAw(1/4) AAS
以下のような問題に読み替える。
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n を自然数とする。次のようなゲームを考える。
(※)
. 確率 1/2 でコスト 1 消費して失敗
. 確率 1/4 でコスト 2 消費して失敗
. 確率 1/8 でコスト 3 消費して失敗
省3
230: 2024/09/23(月)00:43 ID:PuFOgYAw(2/4) AAS
Claim 1 ) P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) → 0
(∵) 結論を否定すると ε>0 と無限集合 S を
. P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) > ε ( ∀n ∈ S )
となるようにとれる。このとき z>0 を Y が N(0,1) に従うとき
. P( |Y| > z ) < ε/2
を満たすようにとれる。
このとき十分大きい N₁ で 任意の n > N₁ で (n^(2/3)-5)/√⌊4/7n⌋ > z となるようにとれる。
省11
231: 2024/09/23(月)00:44 ID:PuFOgYAw(3/4) AAS
Claim 2 ) P( | Sₙ - 1/14 n | < 2n^(2/3) ) → 0
(∵) N(0,1) に従う Y をとる。ε>0 をとる。Claim1 と CLT から N>0 を任意の n>N に対して
. P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) < ε/3
. | P(|Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > z ) - P( |Y| > z ) | < ε/3
を満たすようにとれる。さらに z>0 を
. P( |Y| > z ) < ε/3
を満たすようにとれる。Xₖ を k ゲームが成功したとき 1、そうでなければ 0 とする。このとき n>N に対して
省7
232: 2024/09/23(月)00:44 ID:PuFOgYAw(4/4) AAS
( Pf. of the assertion ) ε > 0 を任意に選ぶとき N > 0 を任意の n > N に対して
. | (1/14 n ± 2n^(2/3)) / (4/7 n ∓ n^(2/3)) - 1/8 |< ε
となるようにとれる。このとき
. | Sₙ - 1/14 n | ≦ 2n^(2/3) ⋀ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)
. → Sₙ/Tₙ > (1/14 n - 2n^(2/3)) / (4/7 n + n^(2/3)) > 1/8 - ε
. ⋀ Sₙ/Tₙ < (1/14 n + 2n^(2/3)) / (4/7 n - n^(2/3)) < 1/8 + ε
∴ P( | Sₙ/Tₙ - 1/8 | > ε ) ≦ P(| Sₙ - 1/14 n |>2n^(2/3) ) + P(| Tₙ - 4/7 n |>n^(2/3) )
省3
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