数学基礎論・数理論理学　その19 (606ﾚｽ)

数学基礎論・数理論理学　その19 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/

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1: １３２人目の素数さん [sage] 2023/10/06(金) 22:38:03.74 ID:tsskr+sA 数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 （「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。） 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部など

を含み、多岐にわたります。 （数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照） 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学　その18 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1474357543/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/1

526: １３２人目の素数さん [] 2024/12/13(金) 12:53:39.88 ID:IICqUMpV 数理論理学の教科書ってなんか 思いが勝って？意味不明瞭てか 定義して論証するスタイルから 逸脱してしまってる本もあるな 何を言おうとしているか曖昧で http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/526

527: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/13(金) 14:06:09.62 ID:4qaWHamy 具体的に書名と該当する文章を記せ ここに書けないならブログに書いてリンクを張れ できないなら黙って●ね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/527

528: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/13(金) 17:28:36.17 ID:WbV8oUaV 定義して定理を証明するの繰り返しになってない数理論理学の本などあるわけがない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/528

529: １３２人目の素数さん [] 2024/12/14(土) 00:47:10.24 ID:uyPb+8af >>528 その前に曖昧な「思い」を語って 定義が明確でなく証明も曖昧な本 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/529

530: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/14(土) 01:00:09.76 ID:lG69qVA1 >>529 じゃあその本を引用してくれよ お前が言ってること解析入門君以下だよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/530

531: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/14(土) 23:04:52.06 ID:lG69qVA1 >>529 まだ？ 結局いつもの妄想だったの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/531

532: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/15(日) 18:29:56.54 ID:fyR+w7xX >>529 「思い」の部分はいいから、試しに曖昧な定義ってのを貼ってごらんよ なんでできないの？解析入門君でもできるのに http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/532

533: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/16(月) 18:24:01.05 ID:iyAgqqtd >>529 まだ？ これ自己紹介だったってオチ？＞思いが勝って？意味不明瞭 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/533

534: １３２人目の素数さん [] 2024/12/16(月) 22:17:25.88 ID:8864eXoA 甘ちゃんね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/534

535: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/18(水) 03:26:56.11 ID:TlfsWdag >>529 まだ？ 君のqiitaに書いてくれてもいいんだよ リンクは上のほうに貼ってあったし http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/535

536: １３２人目の素数さん [] 2024/12/18(水) 07:07:07.03 ID:maOdtkR0 さっさと出て来て、なぜ集合のことを集合ではなくクラスと呼ぶのか定義に基づいて説明しろよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/536

537: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/23(月) 11:43:18.67 ID:hUexyzcT 74 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 10:25:49.39 ID:xuo45Noy 「なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？」スレの989 >『{}∈{{{}}}』について、個別に真だの偽だのを論じたことはない この期に及んで言い逃れかい？ じゃあ以下の何がなぜ間違いか言ってごらん （引用開始） また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない 実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。 （引用終了） >おサルさん

たちが、自分たちの言い逃れのため、ヤクザのインネンを付けてきているだけのことよ >めんどう臭いから、スルーしていますｗ （＾＾ 間違いだとインネン付けてきたのは君。インネンである証拠に君は何がなぜ間違いかを言ってない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/537

538: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/23(月) 11:43:39.62 ID:hUexyzcT 75 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2024/12/23(月) 11:22:56.67 ID:DXqGPbwQ 集合{{{}}}の要素とは 最外の{}を外した項の列の中のそれぞれの項 したがって{{}}しかない これ豆な　知らん奴は大学１年落第 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/538

539: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 02:50:05.20 なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか 体系内と体系外の正しさ 体系内の正しさ 　自明な正しさ 　　定義　論理構造だけで自明に真となる命題 　　例　命題論理の恒真式（トートロジー） 　　価値　形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない 　非自明な正しさ 　　定義　モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題 　　例　意味論的妥当性（⊨ φ） 　　価値　議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証すること

は不可能 1. 恒真式（トートロジー） 　　定義　真理値表で常に真となる式 　　特徴　自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない 2. 意味論的妥当性（Validity） 　　定義　形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ） 　　特徴　どの解釈でも真である点が非自明性を示す 3. 形式的完全性（Completeness） 　　定義　意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ） 　　特徴　一階述語論理における Gödel の 1930 年定理 4. 形式的健全性（Soundness） 　　定義　証明可能な式は

必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ） 　　特徴　証明体系の正当性を保証 5. 無矛盾性（Consistency） 　　定義　ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質 　　特徴　十分強力かつ再帰的に公理化可能な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理） 6. 公理の仮定性 　　定義　公理は証明せず仮定として受け入れる式 　 特徴　その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存 体系外の正しさ 　経験的検証 　定義　現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致するこ

とで得られる正しさ 　特徴　自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる 文学・芸術科学化 　定義　文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる 　特徴　感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能 理論物理学の立場 　定義　実験や観測のための概念・装置を準備する段階 　特徴　必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる 数学の位置付け 　定義　公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式

科学 　特徴　外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/539

540: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 02:50:11.81 主観・感情・読者解釈の形式化可能性 任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば – 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1） – 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L⌝,t)」 これらを含む理論 T は 再帰的可算（Henkin 1950）、 任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、 T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936） → どんな背景定義を用いようと、現実世界

への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第一不完全性の射程外には出られない 純ナンセンスの例 g0d!#? ωω++ … 識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する オントロジー層とテキスト層 テキスト層 書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能 オントロジー層 背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得 反例と現実性 反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。 – なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義す

れば Q を内包 – 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提 – Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張にはなり得ない まとめ 1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である 2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とはならず意味を持たない 3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない 4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経

験的検証による科学のみである 5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/540

541: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 02:50:27.08 数学はもちろん形式科学だから学問 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/541

542: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 02:51:05.96 出来るはずのない論理のタブーを犯しているため哲学や形而上学は学問ではない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/542

543: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 03:04:19.81 なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか 体系内と体系外の正しさ 体系内の正しさ 　自明な正しさ 　　定義　論理構造だけで自明に真となる命題 　　例　命題論理の恒真式（トートロジー） 　　価値　形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない 　非自明な正しさ 　　定義　モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題 　　例　意味論的妥当性（⊨ φ） 　　価値　議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得・検証するこ

とは不可能 1. 恒真式（トートロジー） 　　定義　真理値表で常に真となる式 　　特徴　自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない 2. 意味論的妥当性（Validity） 　　定義　形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ） 　　特徴　どの解釈でも真である点が非自明性を示す 3. 形式的完全性（Completeness） 　　定義　意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ） 　　特徴　一階述語論理における Gödel の 1930 年定理 4. 形式的健全性（Soundness） 　　定義　証明可能な式

は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ） 　　特徴　証明体系の正当性を保証 5. 無矛盾性（Consistency） 　　定義　ある式 φ とその否定 ¬φ の両方が証明されない性質 　　特徴　十分強力かつ再帰的に公理化可能な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理） 6. 公理の仮定性 　　定義　公理は証明せず仮定として受け入れる式 　　特徴　その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存 体系外の正しさ 　経験的検証 　　定義　現実世界の観測・実験結果と理論モデルの予測が一致すること

で得られる正しさ 　　特徴　自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる 　文学・芸術科学化 　　定義　文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる 　　特徴　感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能 　理論物理学の立場 　　定義　実験や観測のための概念・装置を準備する段階 　　特徴　必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる 　数学の位置付け 　　定義　公理の正しさを主張せず、体系内の健全性・完全

性を追究する形式科学 　　特徴　外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/543

544: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 03:04:27.81 主観・感情・読者解釈の形式化可能性 　任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば 　　– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1） 　　– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」 　これらを含む理論 T は 　　再帰的可算（Henkin 1950）、 　　任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、 　　T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser 1936） 　→

どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第二不完全性定理の射程外には出られない 感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性 　任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、次のようにオントロジー層で定義・形式化できる。 　　– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現 　　– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化 　　– 「美的快の強度」

「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現 　→ どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない 純ナンセンスの例 　g0d!#? ωω++ … 　識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する オントロジー層とテキスト層 　テキスト層　書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能 　オントロジー層　背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得 反例と現実性 　反例は「テキストに乗法記号がないから形式体系に

Q が含まれない」という誤解を打ち破る。 　　– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包 　　– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提 　　– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張とはなり得ない まとめ 　1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である 　2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界への言及とは

ならず意味を持たない 3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない 4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである 5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/544

545: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:04:49.33 ID:UZ8rVv9G >>542 「哲学や形而上学は学問ではない」という意見だけど、それは一般的な見方とは違うね。 多くの大学で哲学や形而上学はちゃんとした研究分野として扱われているし、歴史的にも重要な学問として認識されている。例えば、古代ギリシャのプラトンやアリストテレスから近代のデカルトやカント、現代の分析哲学まで、多くの思想家たちが論理に基づいた思考を展開してきた。彼らの議論は、論理的な整合性を重んじ、緻密な思考によって構築されている。 「出来るはずのな

い論理のタブーを犯している」という点が具体的に何を指しているのか不明だけど、もしそれが哲学的な問いの性質、つまり経験的な検証が難しい領域を扱っていることだとしたら、それは哲学の特性であって、学問としての価値を否定するものではない。むしろ、科学では扱えない根源的な問い、例えば「存在とは何か」「知識はどのようにして得られるのか」「道徳の基礎は何か」といった事柄を探求するのが哲学の役割だ。 これらの問いは、論理的な思考や概念分析を通して深く掘り下げられ、人文科学や社会科学だけでなく、自然科学の基礎にも影響を与えて

いる。学問の定義は多様だけど、一般的には体系的な知識の探求、批判的な思考、そして議論の構築が含まれる。哲学や形而上学は、まさにこれらの要素を満たしていると言えるだろう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/545

546: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:35:14.02 >>545 論理的思考は不可能で権威主義と 大学でホメオパシー教えてたら学問と 知能0 タブーが何が書かれている ゲーデルの第二不完全性定理違反 ウィトゲンシュタインによる形而上学の無意味性証明すら知らんアホが吠えんなや http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/546

547: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:35:25.01 >>545 なぜ哲学は無意味で科学のみが学問と言えるのか 体系内と体系外の正しさ 体系内の正しさ 　自明な正しさ 　　定義　論理構造だけで自明に真となる命題 　　例　命題論理の恒真式（トートロジー） 　　価値　形式的には正しくても新たな洞察を生まず、議論に貢献しない 　非自明な正しさ 　　定義　モデル理論的事実や推論規則の適用を要し、形式体系のすべてのモデルで真となる命題 　　例　意味論的妥当性（⊨ φ） 　　価値　議論の本質を担うが、体系内で完全に獲得

・検証することは不可能 1. 恒真式（トートロジー） 　　定義　真理値表で常に真となる式 　　特徴　自明に真で、新たな情報を付加せず議論に寄与しない 2. 意味論的妥当性（Validity） 　　定義　形式体系 K のすべてのモデルにおいて真となる式 φ の性質（⊨ φ） 　　特徴　どの解釈でも真である点が非自明性を示す 3. 形式的完全性（Completeness） 　　定義　意味論的に妥当な式は必ず証明可能である性質（⊨ φ ⇒ ⊢ φ） 　　特徴　一階述語論理における Gödel の 1930 年定理 4. 形式的健全性（Soundness） 　　定義　

証明可能な式は必ず意味論的にも真である性質（⊢ φ ⇒ ⊨ φ） 　　特徴　証明体系の正当性を保証 5. 無矛盾性（Consistency） 　　定義　ある式 φ とその否定 ￢φ の両方が証明されない性質 　　特徴　十分強力かつ再帰的に公理化可能で無矛盾な体系は自身の無矛盾性を内部で証明できない（第二不完全性定理） 6. 公理の仮定性 　　定義　公理は証明せず仮定として受け入れる式 　　特徴　その正しさは体系外の検証（経験的・モデル存在証明など）に依存 体系外の正しさ 　経験的検証 　　定義　現実世界の観測・実験結果と理論

モデルの予測が一致することで得られる正しさ 　　特徴　自然科学も社会科学も、アンケート・脳波計測を含むあらゆる経験的手法で検証される場合に「科学」と呼ばれる 　文学・芸術科学化 　　定義　文学や芸術の情緒・読者反応をアンケートや脳科学的計測で定量化し検証すれば「芸術科学」となる 　　特徴　感動度や倫理的判断も経験的データで評価可能 　理論物理学の立場 　　定義　実験や観測のための概念・装置を準備する段階 　　特徴　必然的に後続の経験的検証を可能にすることが求められる 　数学の位置付け 　　定義　公理の正しさを主張

せず、体系内の健全性・完全性を追究する形式科学 　　特徴　外部的検証を要求せず、内部的整合性とモデル存在のみが評価基準 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/547

548: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:35:37.54 >>545 主観・感情・読者解釈の形式化可能性 　任意のテキストは背後にオントロジー（背景定義）を置くことで弱算術 Q の骨格を必然的に含む。たとえば 　　– 聖書「C(g,ω)」（創世記1:1） 　　– 源氏物語「L(genji,y,t)」「R(r,⌜L(genji,y,t)⌝,t)」 　これらを含む理論 T は 　　再帰的可算（Henkin 1950）、 　　任意 r.e. 集合を Σ¹ 式で表現（Shepherdson 1961）、 　　T ⊬ Con(T) かつ決定不能文 θ を必ず抱える（Gödel 1931／Rosser

1936） 　→ どんな背景定義を用いようと、現実世界への言及には弱算術 Q が不可欠であり、第二不完全性定理の射程外には出られない 感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性 　任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、次のようにオントロジー層で定義・形式化できる。 　　– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現 　　– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化 　　– 「美

的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数理モデル化して Σ¹ 式で表現 　→ どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない 純ナンセンスの例 　g0d!#? ωω++ … 　識別不能・順序不能・参照不能で再帰的列挙すらできず、意味が蒸発する オントロジー層とテキスト層 　テキスト層　書かれた文字列のみを扱い意味づけ不能 　オントロジー層　背景定義・公理群でテキストをモデル化し初めて意味を獲得 反例と現実性 　反例は「テキストに乗法記号がないか

ら形式体系に Q が含まれない」という誤解を打ち破る。 　　– なんでも計算できるコンピューター：テキストに×がなくとも「チューリング完全」と定義すれば Q を内包 　　– 源氏物語の物理社会：面積＝縦×横、速度×時間、単価×数量を想定すれば必ず Q を前提 　　– Presburger 算術：加法のみでは現実世界を一切表現できず、意味ある主張とはなり得ない まとめ 　1. 意味ある文章とは「現実世界への言及そのもの」であり、その参照自体が意味である 　2. 現実世界への言及ならば必ず弱算術 Q を含み、Q を含まないなら現実世界

への言及とはならず意味を持たない 3. Q を含まない理論は純粋ノイズにすぎず、現実世界に対する意味ある主張として成立しない 4. 唯一の非自明な正しさを担保できるのは経験的検証による科学のみである 5. 経験的情報を取り入れれば自然科学・社会科学・芸術科学・倫理科学・理論物理学へと回収され、取り入れなければ純粋形而上学にとどまり無意味な妄想となる つまり生き残れる哲学は存在せず、唯一の可能な学問は科学のみである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/548

549: １３２人目の素数さん [] 2025/07/04(金) 04:36:12.39 >>545 感情・解釈・文化的文脈・美学の形式化可能性 　任意の感情（喜び・悲しみ）、解釈（読者反応）、文化的文脈、美学的価値判断は、以下のようにオントロジー層で定義・形式化できる。 　　– 個体定数や関係記号を用いて「感情状態」「解釈行為」「文化的属性」「美学的評価」を命題として表現 　　– 時点や対象を数える 0, S() を導入し、読者や文化集団ごとの反応を R(r,p,t) の形で量化 　　– 「美的快の強度」「文化的背景の識別」「解釈パターン」を数

理モデル化して Σ¹ 式で表現 　これにより、どのような主観的要素であっても弱算術 Q の骨格を含む形式体系に組み込まれ、第二不完全性定理の射程外には逃げられない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/549

550: １３２人目の素数さん [] 2025/07/05(土) 19:16:59.02 ID:IkzxlKx6 殺害予告常習犯フクロナガサ晒しage http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/550

551: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/24(水) 09:24:25.90 ID:b6OfntkE カントールのパラドックスを考えていた。 素朴集合論では 集合の集合の濃度は最大でも可算無限ではないだろうか。 そうなると、パラドックスにはならない。 素朴なので無制限な内包公理も無く、実数直線の意味での連続性を持つ連続な集合は無いだろう。 素朴集合論にはZFCの分出公理に相当するものが最初から入っていると考えられる。 どうだろうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/551

552: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/24(水) 11:30:33.42 ID:b6OfntkE Frápolli1991によれば、 数学への実在論的アプローチによる、ということである。 分出公理に相当するものは、この実在論的アプローチであった。 なんにせよ、集合の集合の要素は集合であり、要素としての集合の内部には立ち入らない。 これは非可算無限な集合を可算無限な集合にマッピングできる可能性があるということだろう。 実数を集合論によって可算無限にマッピングできる！　（ただし、実数の解釈は一般的なものと異なることになるが。数学におけるひも理論か

？） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/552

553: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/24(水) 11:40:21.82 ID:b6OfntkE （数学における）ひも理論ではなく超ひも理論でもよいのだが、 超の場合、超対称性も必要になる。集合論そのものが超対称性を持っていると思う。 すっごく簡単にいえば、数学（数学的対象）も「波」だ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/553

554: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/25(木) 18:44:20.85 ID:0YzaadlK 実在論的アプローチや、分出公理の意味などを考えるとき、 集合は、アクセス可能なものでしか構成できないのだろうと思った。 アクセス可能性。 Ｎ次元もしくは無次元において線でつなげられるかどうか。無矛盾性の再定義。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/554

555: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 06:21:14.26 ID:CsJXi22l >>554 意味の通る文章を書いてほしい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/555

556: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 10:52:56.53 ID:HBlR/4HE >>543 単に哲学をそれ以外の言葉で呼び変えることで哲学を名義上消去しただけにしか見えんが（笑） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/556

557: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 10:55:46.78 ID:HBlR/4HE 論理学は形而上学であり認識論でありしたがって哲学である といいだしたらどう反論するつもりなのか？ 存在を消去した論理は可能か？ 認識を消去した論理は可能か？ 無理じゃね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/557

558: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 10:56:57.92 ID:HBlR/4HE そもそも 認識抜きの存在はない 存在なしの認識もない 要するに存在と認識は表裏一体 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/558

559: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 11:30:06.91 ID:/dKhEejY 素朴集合論は集合論のパラドックスと関係ない。 Frápolli1991を調べてみると、ようするに、実在論的アプローチによって素朴集合論を解釈した場合だ。 そこでZFの古い分出公理を調べてみると、これも、実在論的アプローチによってパラドックスを解消していた() http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/559

560: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 11:36:50.21 ID:/dKhEejY そして、非可算濃度を持つ集合ってあるのか、と調べてみると、実数の集合は非可算濃度だ。 しかし、実数の集合が点の集合であった場合、いくら点をあつめて実数直線にはならない。 これを集まりの集まりと考えればなんとかなりそうだが、集まりの要素が集まりであった場合、 要素としての集まりの内部にまで立ち入ってよいのか（アクセス可能性：アクセスし易さでではない）ということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/560

561: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 11:42:38.05 ID:/dKhEejY さらに、実数直線を考えてみると、これはアレフONEだけでなくアレフ２やそれ以上の濃度の実数直線すらあると思える。 これを実数の集合などと単純に考えてよいのだろうか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/561

562: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 13:27:24.66 ID:PbcgAUUk 実在論的アプローチとは具体的に何かいえるかい？　ド素人 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/562

563: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 17:21:40.47 ID:/dKhEejY Notas sobre la evolución del realismo en la obra de G. Cantor でも読んでくだされ。 わからないことは Maria J. Frápolli 本人に質問してくださいね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/563

564: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 17:43:18.73 ID:cE2PwCOr >>563 かいつまんだ説明ができない人間は何も理解していない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/564

565: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 17:48:57.24 ID:OApD2Sio こいつが何を言ってるかは分からんが、「素朴集合論から矛盾が出てくる」とか言う奴はそいつの直観が間違ってるだけだろと思う http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/565

566: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 18:23:14.79 ID:/dKhEejY 分出公理を実在論的アプローチだとして考えるなら、 問題は、その（数学的）実在論の扱い方になる。 そこでこれをAccessibilityだと考えた。 xx的実在によるアプローチのひとつに、朝永のひも理論がある。 パラドックス回避のために大きさのようなものをもつ数学的ひもを集合論に導入できるものかどうか 考え中。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/566

567: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 18:26:47.77 ID:/dKhEejY 矛盾とパラドックスの違いのわからないやつはほっておこう。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/567

568: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 18:51:15.85 ID:f0rZ2tau 内包公理を採用する公理系において X:={x|¬x∈x} と定義。 定義から直ちに ∀y((y∈X⇒¬y∈y)∧(¬y∈X⇒y∈y)) が成り立つ。 特に y=X のとき、X∈X⇔¬X∈X が成り立つが、これは論理的に矛盾している。 よって内包公理を採用する公理系は矛盾している。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/568

569: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 19:20:18.57 ID:jwGIJR6a ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください Gemini(pro 2.5)に聞いても循環論法の域を出ないような解説しかしてくれません 最小の機能的集合には余計な元が含まれないことを示すため「0から有限回繰り返しても到達できない元」を考えるって言うんだけど、"有限回" ってこんなの自然数集合を既知として使ってるも同じでしょう? 指摘すると「なるほど確かに鋭い指摘です」と返事だけはいいんだけ

ど結局は同じ話を繰り返されます http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/569

570: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 19:34:43.90 ID:f0rZ2tau 無限公理が存在を主張する集合を帰納的集合と呼ぶ。 集合xが帰納的集合であることをφ(x)と表す。φ(I)とする。 {x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)} は自然数全体の集合（要証明）。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/570

571: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/26(金) 19:51:49.12 ID:f0rZ2tau >{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)} は要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので最小の帰納的集合となる。 なぜ素直にあらゆる帰納的集合の共通部分として定式化しないかと言えば、ZFでは帰納的集合全体の集合を構成できないから。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/571

572: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 20:18:34.57 ID:jwGIJR6a >>570 そう、そうやって作った最小の帰納的集合には我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしいんですよ つまり0から始めて次の次の...と有限回で達しない元は含まれていないと でも "有限回" って時点で 自然数集合の存在が前提じゃないですか? その辺りGeminiにツッコみ入れても「これは直感的な表現なので...」と逃げて終わりです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/572

573: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 21:05:24.67 ID:f0rZ2tau >>572 自然数全体の集合Nの定義は分かる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/573

574: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 22:38:22.19 ID:jwGIJR6a >>573 全ての帰納的集合の交叉から作った最小の帰納的集合を "自然数集合" と定義する、別にそれでもいいです でもそれだけだと0から有限回で辿りつける元(我々がよく知ってるつもりの自然数)しか含まない保証はないわけです ちゃんと証明しようにも「0から有限回で辿りつける元しか含まない集合」の存在が前提になってしまう(ように見える)のが気になっています http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/574

575: １３２人目の素数さん [] 2025/09/26(金) 23:04:54.49 ID:f0rZ2tau >>574 ああやっぱり分かってないね。 ペアノの公理を満たす集合のことを自然数全体の集合Nと言い、Nの元を自然数と言う。 だからあなたの問題意識 >我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい は悪いけどまったくトンチンカンです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/575

576: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/27(土) 02:32:04.51 ID:qUL3Y1co どっちの定義でも別によくね？少なくとも分かってないってことにはならんやろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/576

577: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 10:32:56.89 ID:BkyF1P8S 現代数学において自然数の定義はひとつだよ そんなの関係ねえ　俺は俺の道を行く　と言うならご自由にどうぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/577

578: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 10:36:10.20 ID:8QK/7CNS Oxfordの辞典にはペアのの公理は書かれていない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/578

579: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 10:51:32.02 ID:BkyF1P8S だから君がそれを信じるならそれでいいじゃん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/579

580: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 11:07:07.33 ID:diLRMAwI >>577 それは素朴すぎる 限定算術みたいな研究対象もあるので http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/580

581: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 11:44:35.08 ID:BkyF1P8S >>580 君の主張は 　限定算術みたいな研究対象があるから自然数の定義は唯一でない でよい？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/581

582: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 11:47:38.32 ID:diLRMAwI >>581 小泉進次郎みたい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/582

583: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 11:57:57.39 ID:BkyF1P8S >>582 違うと言うなら君の主張を君自身で述べればいいだけ なぜ逃げる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/583

584: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 12:00:47.05 ID:BkyF1P8S まずは君の主張を確定させてくれないと、こちらとしては何も言えない それが狙いかい？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/584

585: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 12:36:25.89 ID:fLAeLOLb 自然数を語るのに集合論は必要ないけどな PAでいい 型理論を基礎にして自然数型を考えてもいい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/585

586: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 12:51:24.57 ID:BkyF1P8S それはそうだが >ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください からの流れだから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/586

587: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 15:54:58.74 ID:sOeMGv0M >>571　ID:f0rZ2tau ＞{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}は ＞要するにあらゆる帰納的集合の共通部分のこと。 ＞帰納的集合の共通部分は帰納的集合なので ＞最小の帰納的集合となる。 >>572　ID:jwGIJR6a ＞そう、そうやって作った最小の帰納的集合には ＞我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を ＞示してほしいんですよ ♪それはちょっと　でーきーないー相談ねー（中森明菜か） まず　ID:jwGIJR6aのいう「普通に考えられる自然数」を 自然数の定義によっ

て自然数であると証明できる自然数とする そのようなものが自然数として含まれることはもちろん証明できる 逆に、そうでないものは自然数として含まれない ということは一階述語論理上の自然数論では証明できない 具体的にはゲーデルの不完全性定理の系である http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/587

588: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 16:03:48.07 ID:sOeMGv0M >>575 >あなたの問題意識 >「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」 >は悪いけどまったくトンチンカンです。 トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない 任意の自然数ｎに対して　ｎ＜ωとなる自然数ωが存在する、という論理式を追加する ｎ＜ωは、任意の有限個の自然数の存在と両立する　 つまり自然数論の任意有限個の前提式を満たすモデルが存在する そして一階述語論理ではコンパクト性定理が成立するの

で、 上記のωの存在を追加した自然数論のモデルが存在する つまり、普通に考えられる自然数以外の非常識自然数が存在してもOK！ これ、ボクが言い出したことじゃないので ボクに文句を言われてもどうしようもないです（笑） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/588

589: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 16:10:52.62 ID:sOeMGv0M ＞現代数学において自然数の定義はひとつだよ ただそれを満たす自然数のモデルは一つではない 算術の超準モデル https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB 算術の標準モデルを 「いかなる算術モデルにも含まれる元しか含まない」 とする まあ、標準モデルは存在するだろうけど、 標準モデルのみがモデルであるような自然数論を 一階述語論理上の帰納的に公理化可能な理論として 構築することはできない

もし標準モデルのみがモデルとなるような理論を考えた場合 その理論の公理を具体的に人間が判定できる形で示すことはできないだろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/589

590: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 18:20:18.74 ID:BkyF1P8S >>588 >>あなたの問題意識 >>「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」 >>は悪いけどまったくトンチンカンです。 >トンチンカンとはいえないけど、「」は結果としてはできない いやトンチンカン。なぜなら示すべきは {x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X がペアノの公理を満たすことだから。 ちなみに、最小の極限順序数をωと書くとφ(ω)だから定義よりXはωの部分集合（X⊂ω）。これが「」への回答になってるかは知らんｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/590

591: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 18:30:31.91 ID:BkyF1P8S >>589 >算術の超準モデル >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB ぜんぜん関係無い。なぜなら >{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X が >ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください への回答であって、この回答がvalidか否かはもっぱらXがペアノの公理を満たすか否かで定まるから。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi

/math/1696599483/591

592: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/27(土) 22:39:28.14 ID:qUL3Y1co 関係ないのかな 超準モデルみたいな事態になってないことが示したいことじゃないんけ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/592

593: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 23:42:03.63 ID:BkyF1P8S >X⊂ω じゃ不十分と？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/593

594: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/27(土) 23:47:29.45 ID:qUL3Y1co それで十分だけど、Xがペアノの公理を満たすこととは違うよね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/594

595: １３２人目の素数さん [] 2025/09/27(土) 23:54:54.41 ID:BkyF1P8S >ZFC公理系の無限公理により存在が許される無限集合から自然数集合を分出するにはどうしたらいいか解説してください への回答としてはXがペアノの公理を満たすこと >「我々が普通に考えられる自然数しか含まれていない事を示してほしい」 への回答としてはX⊂ωであること を示せばいんじゃね？　知らんけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/595

596: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/27(土) 23:57:01.57 ID:qUL3Y1co いやωをどう定義したかによるな ω:=上のX 以外の流儀があるんだろうか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/596

597: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/27(土) 23:58:19.17 ID:qUL3Y1co 普通の自然数しか含まれていないというのがなかなかはっきり書けないから適当でいいか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/597

598: １３２人目の素数さん [] 2025/09/28(日) 00:39:23.20 ID:oZZhgLQ6 >>572 (続き) 分かってないなりにもう少し書いてみます 全ての帰納的集合の交叉を N' とします。 分出公理により N' は"集合" です 自然数の集まり: N 関数 S(x) := x ∪ {x} 述語 P(x) := ∃n∈N( x = S^n(0) ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/598

599: １３２人目の素数さん [] 2025/09/28(日) 01:00:23.88 ID:oZZhgLQ6 >>598 (途中送信してしまった) 要するに極々素朴な直感を書き出すと N = { x ∈ N' ; P(x) } と定義しても良いでしょうと で、分出公理により N は "集合" です、 これ証明になってませんよね 問題なのは P(x) の "定義" です n∈N : Nを定義する前に出てきちゃいました S^n : Sのn重適用...こんなの基本的な論理式に還元できないような？ この辺りの回避方法があれば知りたかったのです キューネン数学基礎論講義の序盤を読んで浮かんだ疑問です

たぶん先を読めば分かるんだろうと思いながら質問してみました すみませんがスレで説明された事はよく理解できてません http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/599

600: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/28(日) 03:18:08.80 ID:zC51MUoh 有限回でたどり着けるを文字通りに定義するのは無理そうな気がするね どうしてもNに依存しちゃうし、Nの元nについて、n回っていうのが有限回の定義だと認めないとだめなんじゃないかなあ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/600

601: １３２人目の素数さん [] 2025/09/29(月) 16:55:17.90 ID:t8iNrpWU 自分の考えを書いてみる。有識者に見てもらいたい。 述語P(n)の量化（この文脈においては部分集合の量化と等価）を一階言語で表現できないため、オリジナルのペアノの公理Pa(Peano axioms)は二階言語で書かれている。 Paは範疇的、すなわち、(N,0,S),(N',0',S')がともにPaを満たすなら同型写像f:N→N'が唯一存在してf(0)=0'∧f(S(n))=S'(f(n))（デデキントが証明）。 一方でPA(Peano arithmetic as first-order theory)は範疇的でない。なぜなら一階言語では述語P(n)の量化が

できないため、P(n)をパラメータとする公理図式が採用されているがパラメータは可算個しか許されないため、PAはPaよりも弱い公理系となっている。 そのためNの最小性が保証されず、超準モデルの存在を否定できない。 （This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.)） PaをZFの言語にPa'として翻訳できる。 （The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such a

s ZF.） Pa'はPaの内容をすべて表現できており（べき集合の公理を持つZFの言語で ∀E∈2^N を表現できるため）、 （The set N together with 0 and the successor function s : N → N satisfies the Peano axioms.） これによりNの最小性が保証され、超準モデルの存在を否定できる。すなわちPa'も範疇的。 以上から、{x∈I|∀y(φ(y)⇒x∈y)}:=X がPa'を満たすことが言えれば（同型の違いを除いて）Xは標準自然数だけを持つと言える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/601

602: １３２人目の素数さん [] 2025/09/29(月) 16:55:34.25 ID:t8iNrpWU [参照] https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms Models This means that the second-order Peano axioms are categorical. (This is not the case with any first-order reformulation of the Peano axioms, below.) Set-theoretic models The Peano axioms can be derived from set theoretic constructions of the natural numbers and axioms of set theory such as ZF. The set of natural numbers N is defined as the intersection of all sets closed under s th

at contain the empty set. The set N together with 0 and the successor function s : N → N satisfies the Peano axioms. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/602

603: １３２人目の素数さん [sage] 2025/09/29(月) 22:21:35.77 ID:t8iNrpWU Peano arithmetic as first-order theory The axiom of induction above is second-order, since it quantifies over predicates (equivalently, sets of natural numbers rather than natural numbers). As an alternative one can consider a first-order axiom schema of induction. Such a schema includes one axiom per predicate definable in the first-order language of Peano arithmetic, making it weaker than the second-order axiom.[25] The reason that i

t is weaker is that the number of predicates in first-order language is countable, whereas the number of sets of natural numbers is uncountable. Thus, there exist sets that cannot be described in first-order language (in fact, most sets have this property). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/603

604: １３２人目の素数さん [] 2025/10/02(木) 16:24:53.16 ID:oC122Iq+ 集合論のモデルの中では自然数の集合は１つである ただ、集合論のモデルは１つではないが・・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/604

605: １３２人目の素数さん [] 2025/10/02(木) 16:26:37.93 ID:oC122Iq+ つまり、集合論のモデルの中に唯一ある自然数の集合が標準的自然数である、ということはできない 集合論のモデルが標準モデルでない限りは・・・ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/605

606: １３２人目の素数さん [sage] 2025/10/07(火) 16:30:42.64 ID:SEt8tnLr 数とは数学的対象のことだが、基本的には自然数とその関係性だけで成り立っていると考えたい。 自然数とは抽象的な量子のことであり、粒子性と波動性を持つ。 そして自然数という仮想粒子は統計的にボース粒子である。 では統計的にフェルミ粒子となる数とはどういう数なのだろう。 コインとかサイコロはフェルミだが、それは数学的存在なのだろうか？ 統計性の異なる数学的対象。とりあえず統計的にフェルミ粒子となるフェルミ自然数を考えてみるっか。 http://rio2016.5

ch.net/test/read.cgi/math/1696599483/606

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