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456(1): 2024/02/18(日)12:16 ID:z5WCrLp6(2/4) AAS
>>455
大学教養程度の知識のみを仮定し「調和積分論」と「変分法」に誘う面白い書
2019年11月12日に日本でレビュー済み
本書は大学教養程度の数学の知識、即ち多変数の微積分と線形代数、のみを仮定して「調和積分論」を論じるという大胆な試みの書である。本書で述べられている調和積分論のHodgeの主定理（Hodge-小平の分解定理）の証明は見事であり(*0)、熱核を用いるAtiyah-Singer理論へと読者を誘ってくれることだろう。
本書を読んで感銘をうけるのは、幾何学研究に適用される「変分法の適用範囲の広汎さ」である。私の知識の範囲においても、すぐに以下の理論を挙げることができる。
(1) 大域変分法への適用: Morse理論、調和写像の理論
(2) Gauge理論への適用: 例えば、Yang-Mills理論
省2
457(1): 2024/02/18(日)12:16 ID:z5WCrLp6(3/4) AAS
>>456
【付記: 2019.11.12、 (*0)を追記: 2020.1.29】
上記は本書を一読した1991年12月に書いた感想のメモである。今回本書のレビューを投稿したのは、調和積分論も変分法を発祥の地としていること(*1)、変分法の幾何学への適用範囲がその後も着実に拡がっていること(*2)、などを述べてみたいと思ったからである。
(*0) Hodgeの分解定理を解説するテキストでは、F.W. Warner『Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups』（GTM 94）が定評のある標準書である。邦書では今野宏『微分幾何学』の第11章に、Dirac作用素の解析的性質を用いる証明が載っており、読者をDirac作用素の指数定理へと誘ってくれることだろう。
(*1) ある与えられたド・ラーム類（代表元ω、dω=0）に属する微分形式で、そのノルムが最小になるものを考える。ωより次数が1だけ低い任意の微分形式ηに対し、ω + tdηのノルムがt=0で最小になる条件（tの2次式がt=0で最小値をとるので、tの1次の係数が0である）から、0 = (ω,dη) = (δω, η)、即ちδω=0が導かれる。従って、ド・ラーム類に属するノルム最小の元として「調和形式」（dω=0かつδω=0、即ちΔω=0となるω）が出現する。この事実は単純だが、いくら強調してもし過ぎることがないほど重要なものである【調和積分論を学ぶ際に、ノルム最小のド・ラーム類の元として調和形式が現れるという視点をぜひ持っておきたい】。
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