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239: 2024/01/08(月)15:54 ID:Iljn+bnt(1/6) AAS
[第１段]：Fを実数の代数的数全体の集合とする
Pを周期環とする
実数体R上の零集合Aを A＝{log(p)| p∈P∩F、p＞0 } とする
或る a＞e なる正の超越数 a∈P が存在して log(a)∈F とする
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理とAの定義から、
log(a) はAに属さない実数だから、log(a)∈R-A である
同様に、任意の p＞e なる正の代数的数pに対して log(log(p))∈(R∩P)-A だから、
省5
240: 2024/01/08(月)15:59 ID:Iljn+bnt(2/6) AAS
[第２段]：周期環Pに超越数eが属すると仮定する
超越数eに関する仮定から、周期環Pに属する実数の代数的数1は 1＝∫_{1、e}(1/x)dx
と有理関数 f(x)＝1/x の区間 [1、e] 上で定義される定積分として表され、Fの定義から 1∈P∩F である
また、Fの定義と零集合Aの各定義から、任意のFに属する a＞1 なる代数的数aに対して
有理関数 f(x)＝1/x の区間 [1、a] 上で定義される定積分について
超越数eのときと同様に考えれば、零集合Aの定義と
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理とから log(a)∈P∩A であって、
省10
241: 2024/01/08(月)16:06 ID:Iljn+bnt(3/6) AAS
[第３段]：同様な議論を再帰的に繰り返せば、e^e は周期環Pに属さない正の超越数である
242: 2024/01/08(月)16:15 ID:Iljn+bnt(4/6) AAS
コンツェビッチとザギエが予想したeは周期環に属さないであろうという予想は正しいと思われる
πとeの代数的独立性などを調べるにあたっては周期環は便利か
ただ、[第１段]で定義した実数体R上の零集合Aが一般的な使い方ではなくF を P∩F に制限している
243: 2024/01/08(月)16:36 ID:Iljn+bnt(5/6) AAS
手っ取り早く読める周期やコルモゴロフの複雑性などに関する日本語の周期の解説書があって助かる
これは論文の参考文献になりそうだ
244: 2024/01/08(月)16:43 ID:Iljn+bnt(6/6) AAS
コンツェビッチとザギエが予想したγは周期環に属さないであろうという予想は果たしてどうなんだか
0＜γ＜1＜e であって、上と同様な議論は通用しないわな
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