美しい整数の世界 (780レス)
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10: 132人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:02:16.42 ID:uGTmhihV フェルマーも完全数や友愛数に 興味をもっていた ピタゴラス以降、 友愛数は220と284のペアしか 見つけていない フェルマーはただちに17296と18416の ペアを発見した この発見は友人たちを刺激して、 デカルトは3番目のペア (9363584と9437056)を発見し、 オイラーにいたっては楽々62通りもの ペアをあげてみせた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/10
352: 132人目の素数さん [sage] 2024/02/29(木) 09:15:37.21 ID:ieUHBn65 ■お題 『5+√2 √3+√22は、 どちらが大きいか小数点を 使わずに比較せよ』 (5+√2)^2=27+10√2=27+2√50 (√3+√22)^2=25+2√66 (√66-√50)>1 の時,(√3+√22)>(5+√2) ◆(√66-√50)>1 の証明 √9>√8 なので,3>(2√2) 3>(2√2) なので,15>10√2 15>10√2 なので,66>51+10√2 66>51+10√2 なので,66>51+2√50 (51+2√50)=(1+√50)^2 なので, 66>(1+√50)^2 66>(1+√50)^2 なので,√66>(1+√50) √66>(1+√50) から,∴√66-√50>1 したがって, ∴(√3+√22)>(5+√2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/352
376: 132人目の素数さん [sage] 2024/03/02(土) 08:46:51.08 ID:57MFUqmQ ■お題 『a,b,cを正の整数とし、 M=3^a+3^b+3^c+1とする Mが立方数となるようなa,b,cで、 a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、 それらをすべて求めよ』 ◆n,yを正の整数として M=(y+1)^3 とおく M=3^c+3^b+3^a+1 は, (y+1)^3=y^3+3y^2+3y+1 …① 3^c+3^b+3^a はそれぞれ3の累乗なので 下一桁に5 はないから, y=3^n とおくと①は M=(3^n)^3+3(3^n)^2+3(3^n)+1 M=3^(3n)+3^(2n+1)+3^(n+1)+1 …② n=1 の時,3^(3n)+3^(2n+1)=27,b=c n=4 の時,3^(3n)=3^(12),c=12>10 ②より, a<b<c≦10 の範囲内で取り得る nの値は,{n=2,n=3} yの値は,{y=9,y=27} したがって, ∴a=3,b=5,c=6, a=4,b=7,c=9 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/376
404: 132人目の素数さん [sage] 2024/03/07(木) 22:14:45.80 ID:h0drytcA ■お題 『a,b,cを正の整数とし、 M=3^a+3^b+3^c+1とする Mが立方数となるようなa,b,cで、 a<b<c≦10を満たすものは2組存在するが、 それらをすべて求めよ』 ◆n,yを正の整数として M=(y+1)^3 とおく M=3^c+3^b+3^a+1 は, (y+1)^3=y^3+3y^2+3y+1 …① 3^c+3^b+3^a はそれぞれ3の累乗なので 下一桁に5はないから, y=3^n とおくと①は M=(3^n)^3+3(3^n)^2+3(3^n)+1 M=3^(3n)+3^(2n+1)+3^(n+1)+1 …② n=1 の時,3^(3n)=3^(2n+1)=27,b=c n=4 の時,3^(3n)=3^(12),c=12>10 ②より, a<b<c≦10 の範囲内で取り得る nの値は,{n=2,n=3} yの値は,{y=9,y=27} したがって, ∴a=3,b=5,c=6, a=4,b=7,c=9 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/404
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