美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
美しい整数の世界 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/
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1: プリン [sage] 2023/06/14(水) 22:33:36.78 ID:+e4oaJ0f 2を加えて立方数となる 平方数が25の他に整数で存在するか この問題は一見するに たいへん難しそうであるが， 私は25がそうした唯一の 平方数であることを厳密に 証明することができる 分数でなら， バシェの方法がそのような 平方数を無数に提供するが， 整数の理論はとても美しくて， とても精妙であって， 現在に至るまで， 私以外のどんな著者によっても 知られていないのである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/1
2: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:35:03.41 ID:+e4oaJ0f [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする x^3-(x+k)^2=2…‥① x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-k^2=2kx+2 x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥② x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ ②より、kは偶数，kx+1は奇数 ③より、 x^2(x-1)/2は奇数 x^2は奇数，(x-1)/2も奇数 したがって,(x-1)は奇数の二倍 つまり、xは4の倍数-1 x=4n-1，k=2mとおく x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入 (4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、 m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1 m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1 m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④ ④より、 右辺はnが偶数のとき奇数 左辺は常に偶数 したがってnは奇数 つまり、xは8の倍数-5 となる x=8l-5，k=2mとおく x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入 (8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1 (8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす つまり⑤は、 l=1，m=1しか解が存在しない l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入 ∴整数解は、k=2,x=3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/2
3: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:38:51.64 ID:+e4oaJ0f x^3-(x+k)^2=2…‥① {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす □■■□□ ■■■□□ ■■■□□ □□□□□ □□□□□ 25 x^3-(x+k)^2=2…‥① 3^2+4^2=5^2…‥⑤ ①から⑤、 原始ピタゴラス数の等式が 導出できる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:40:52.39 ID:+e4oaJ0f 1900年の国際数学者会議において、 20世紀に取り組まれるべき 数学の問題として世界中の数学者に 示されたものですが、 その中に 「整係数多変数高次不定方程式が 整数解を持つかどうかを決定する 一般的な解法を求めよ」という問題 (第10問題)がありました 現代風に言うと 「整係数多変数高次不定方程式が 整数解を持つかどうかを判定する アルゴリズムを示せ」 という意味であり、 当時あいまいであった アルゴリズムという概念について 数学者が考えるきっかけになりました そのような判定は非常に困難である ため、多くの数学者が 「そんなアルゴリズムはないだろう」 という予想に傾いて行きましたが、 「ない」と証明によって示すためには、 アルゴリズムとは何か、つまり、 計算できる範囲とはどこまでか、 をはっきりさせる必要がありました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/4
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