美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
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2: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:35:03.41 ID:+e4oaJ0f [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする x^3-(x+k)^2=2…‥① x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-k^2=2kx+2 x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥② x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ ②より、kは偶数，kx+1は奇数 ③より、 x^2(x-1)/2は奇数 x^2は奇数，(x-1)/2も奇数 したがって,(x-1)は奇数の二倍 つまり、xは4の倍数-1 x=4n-1，k=2mとおく x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入 (4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、 m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1 m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1 m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④ ④より、 右辺はnが偶数のとき奇数 左辺は常に偶数 したがってnは奇数 つまり、xは8の倍数-5 となる x=8l-5，k=2mとおく x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入 (8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1 (8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす つまり⑤は、 l=1，m=1しか解が存在しない l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入 ∴整数解は、k=2,x=3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/2
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