美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
美しい整数の世界 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/
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1: プリン [sage] 2023/06/14(水) 22:33:36.78 ID:+e4oaJ0f 2を加えて立方数となる 平方数が25の他に整数で存在するか この問題は一見するに たいへん難しそうであるが， 私は25がそうした唯一の 平方数であることを厳密に 証明することができる 分数でなら， バシェの方法がそのような 平方数を無数に提供するが， 整数の理論はとても美しくて， とても精妙であって， 現在に至るまで， 私以外のどんな著者によっても 知られていないのである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/1
2: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:35:03.41 ID:+e4oaJ0f [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする x^3-(x+k)^2=2…‥① x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-k^2=2kx+2 x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥② x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ ②より、kは偶数，kx+1は奇数 ③より、 x^2(x-1)/2は奇数 x^2は奇数，(x-1)/2も奇数 したがって,(x-1)は奇数の二倍 つまり、xは4の倍数-1 x=4n-1，k=2mとおく x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入 (4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、 m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1 m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1 m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④ ④より、 右辺はnが偶数のとき奇数 左辺は常に偶数 したがってnは奇数 つまり、xは8の倍数-5 となる x=8l-5，k=2mとおく x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入 (8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1 (8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす つまり⑤は、 l=1，m=1しか解が存在しない l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入 ∴整数解は、k=2,x=3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/2
3: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:38:51.64 ID:+e4oaJ0f x^3-(x+k)^2=2…‥① {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす □■■□□ ■■■□□ ■■■□□ □□□□□ □□□□□ 25 x^3-(x+k)^2=2…‥① 3^2+4^2=5^2…‥⑤ ①から⑤、 原始ピタゴラス数の等式が 導出できる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/3
4: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:40:52.39 ID:+e4oaJ0f 1900年の国際数学者会議において、 20世紀に取り組まれるべき 数学の問題として世界中の数学者に 示されたものですが、 その中に 「整係数多変数高次不定方程式が 整数解を持つかどうかを決定する 一般的な解法を求めよ」という問題 (第10問題)がありました 現代風に言うと 「整係数多変数高次不定方程式が 整数解を持つかどうかを判定する アルゴリズムを示せ」 という意味であり、 当時あいまいであった アルゴリズムという概念について 数学者が考えるきっかけになりました そのような判定は非常に困難である ため、多くの数学者が 「そんなアルゴリズムはないだろう」 という予想に傾いて行きましたが、 「ない」と証明によって示すためには、 アルゴリズムとは何か、つまり、 計算できる範囲とはどこまでか、 をはっきりさせる必要がありました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/4
5: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:45:16.22 ID:wrCAn/Y5 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=1]の 出力アルゴリズム x=2n+1 y=2n(n+1) z=2n(n+1)+1 n=1のとき、x=3,y=4,z=5 n=2のとき、x=5,y=12,z=13 n=3のとき、x=7,y=24,z=25 n=4のとき、x=9,y=40,z=41 n=5のとき、x=11,y=60,z=61 … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/5
6: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:47:42.06 ID:wrCAn/Y5 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=2]の 出力アルゴリズム x=4(n+1) y=4(n+1)^2-1 z=4(n+1)^2+1 n=1のとき、x=8,y=15,z=17 n=2のとき、x=12,y=35,z=37 n=3のとき、x=16,y=63,z=65 … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/6
7: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:55:03.22 ID:wrCAn/Y5 もともと神秘的な思考の持ち主だった ピタゴラスは数の完全性という ものに関心をもっていた ピタゴラスは数の完全性は その数の約数によって決まると考えた とくに約数の和がその数自身と同じ になる数こそが完全数だとみなした http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/7
8: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:56:08.97 ID:wrCAn/Y5 たとえば12の約数は1,2,3,4,6である これは足すと16になる こういう数を過剰数といった 10は1,2,5が約数だが足しても8にしか ならないので不足数とよばれた 完全数でいちばん身近な例は6である 約数1,2,3を足すとちょうど6になる 次の完全数は28で、 1+2+4+7+14=28というふうになる ピタゴラスの教団にとって、 こうした完全数は信仰の対象とすらなった しかし、 この完全数はそんなに容易には見つからない 実際にも、 28の次の完全数は496、 4番目は8128で、 5番目は33550336、 6番目になると、 なんと8589869056というふうに 大きくなる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/8
9: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:01:24.80 ID:uGTmhihV ピタゴラスは友愛数というものも 提案していた 友愛数はペアになった二つの数で、 一方の数が他方の数の約数の和になる ようなものをいう ピタゴラス教団は220と284が 友愛数だというめざましい発見をした (220の約数の1,2,4…55,110の合計は284で、 284の約数の合計が220になる) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/9
10: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:02:16.42 ID:uGTmhihV フェルマーも完全数や友愛数に 興味をもっていた ピタゴラス以降、 友愛数は220と284のペアしか 見つけていない フェルマーはただちに17296と18416の ペアを発見した この発見は友人たちを刺激して、 デカルトは3番目のペア (9363584と9437056)を発見し、 オイラーにいたっては楽々62通りもの ペアをあげてみせた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/10
11: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:03:07.74 ID:uGTmhihV フェルマーは、さまざまな奇妙な発見をする たとえば25・26・27という整数の 連続には、26が25(5x5)と27(3x3x3)に 挟まれるという特徴をもっている いろいろ調べてみると、 このような26にあたるような数が ほかにないらしいことがわかった フェルマーは得意になった ほかにそういう数があるなら 出してみなさいと言わんばかり なのである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/11
12: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:41:22.52 ID:uGTmhihV 3^2+4^2=5^2 1^3+2^3+4^2=5^2 5^2+2=3^3 3^3-1^3=26 6^3+8^3=9^3-1 9^3-1=26(3^3)+26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/12
13: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 09:15:39.96 ID:Xk+v0kZc 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の 出力アルゴリズム [z-y=1] Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}] [z-y=2] Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}] [z-y=8] Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/13
14: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 13:07:28.63 ID:9kicVImO 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=8]の 出力アルゴリズム x=4(2n+3) y=4(2n+3)+(2n+1)^2-8 z=4(2n+3)+(2n+1)^2 n=1のとき、x=20,y=21,z=29 n=2のとき、x=28,y=45,z=53 n=3のとき、x=36,y=77,z=85 … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/14
15: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 13:09:23.15 ID:9kicVImO [定理] 隣接する二つの三角数の二乗の差は 立方数である □■■□□□■■■■ ■■■□□□■■■■ ■■■□□□■■■■ □□□□□□■■■■ □□□□□□■■■■ □□□□□□■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ [例] 9-1=8 36-9=27 100-36=64 白と黒が交互に立方数になる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/15
16: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 16:29:20.68 ID:msnrkoTl 3^2+4^2=5^2 1^3+2^3+4^2=5^2 5^2+2=3^3 3^3-1^3=26 6^3+8^3=9^3-1^3 9^3-1^3=26(3^3)+26 3^2+3^3=6^2 3^2-1^2=8 1^3+2^3=9 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/16
17: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 17:05:38.17 ID:msnrkoTl 11^3+12^3+13^3+14^3=20^3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/17
18: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 17:09:58.60 ID:msnrkoTl 楕円曲線y^2=x^3-x+9上には、 ±(0，3)，±(1，3)，±(1，-3)，±(9，27)， ±(35，207)，±(37，225)，±(46584，10054377) および無限遠点の計15個もの 整数点が見つかるとのことです． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/18
19: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 17:28:54.51 ID:msnrkoTl 142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/19
20: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 21:55:55.90 ID:gQoPxRSL 最も小さな完全数は6である 完全数は6、28、496、8128、……と続くが、 1万以下の完全数はこの4つしかない これまでに完全数は51個見つかっている http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/20
21: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 21:58:05.16 ID:gQoPxRSL 2018年に見つかった51番目の 完全数は4900万桁以上もある、 とてつもなく大きいものである 紀元前4世紀頃から続く研究の中で、 わずか51個しか見つかっていない のだから、 完全数は相当珍しい数であることは 間違いない しかし、 完全数は無数に存在することが 期待されている http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/21
22: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 22:00:54.45 ID:gQoPxRSL 最初の完全数が6であることは、 神が6日間で世界を創造した (7日目は休息日：日曜日)ことと 関係があると言われている イングランドへの布教で知られる 初代カンタベリー大司教の 聖アウグスティヌスも 「6はそれ自体完全な数である 神が万物を6日間で創造したから 6が完全なのでなく、 むしろ逆が真である」と言った http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/22
23: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 22:04:53.09 ID:gQoPxRSL 6は最初の2つの素数(2と3)を 掛け合わせた数である 6の次の完全数である28については、 原子核が特に安定する陽子と中性子の 個数の合計(魔法数)であったり、 成人の頭蓋骨を構成する骨の数や 成人の歯の数(親知らずを除く)に一致 していたりもする また、28年経つと(閏年を7回またぐので)月日と曜日の関係が一巡する つまり、28年前のカレンダーは そのまま使うことができる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/23
24: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/16(金) 22:34:32.98 ID:dKBbdx1I ┏┳┳┓ ┣╋╋┫ ┣╋╋┫ ┗┻┻┛ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/24
25: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/16(金) 22:36:08.79 ID:dKBbdx1I 28年経つと(閏年を7回またぐので) 月日と曜日の関係が一巡する つまり、28年前のカレンダーは そのまま使うことができる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/25
26: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/16(金) 22:42:42.85 ID:dKBbdx1I [定理] 3倍して立方数となる平方数は、 9だけである [証明] 自然数xがあるとき、x^3=x(x^2) 1x3x3 2x6x6 3x9x9 … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/26
27: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/16(金) 22:44:30.55 ID:dKBbdx1I ┣╋╋┫ ┣╋╋┫ ┗┻┻┛ ┏┳┳┓ ┣╋╋┫ ┣╋╋┫ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/27
28: １３２人目の素数さん [] 2023/06/16(金) 22:47:14.03 ID:yAXsgoMd 医師になるのは、めちゃくちゃ簡単だよ。 どんな馬鹿医大でも国家試験の合格率7割以上はあるし、自治医大以上ならほぼ100％。 弁護士の場合は難関ロースクールを卒業しても、国家試験を通るのは10%程度。 医師になるには金と時間がかかるが、試験自体は簡単。 うちは従兄弟三人医師になったが、英検二級すら落ちるレベルの頭だからね。 医師国家試験の合格率ランキング見てみ。 一番低い杏林大学ですら、79.4%。 奈良県立大以上の偏差値の25校は95.0％超え。 これのどこが難関試験なの？ 医学部に学費を支払える財力のハードルが高いだけで、医師にはバカでもなれる。 弁護士、司法書士、会計士、英検１級あたりは、バカには絶対に無理。 まとめると 医師国家試験→バカでも受かる。しかし、医学部6年間で1,000万以上かかる学費のハードルが高い。 司法試験→ロースクール卒業しても、合格できるのはごく一部。非常に難関な試験。 司法書士→ロースクールに行かなくても受験できるが、難易度は司法試験並み。 英検１級→英語がずば抜けて優秀でないと合格できない。英語の偏差値100必要。（実際にはそんな偏差値はないが） 会計士→おそらく、最難関試験か。会計大学院修了者の合格率は7.6％しかない。 不動産鑑定士→鑑定理論が地獄。単体の科目としては最難関の一つ。経済学などは公務員試験より簡単か。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/28
29: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/17(土) 00:05:32.00 ID:9YkwTsge □□□■■ 4 □□□■■ ■■■□□ ■■■□□ ■■■□□ 9 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/29
30: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/17(土) 05:08:35.34 ID:dGj/DF4g >>1-2 意気揚々とスレ立ててるとこ申し訳ないんだけど l=m=1で等式が成り立った！ だからl=m=1しか解はない！ 他の解は見つからないはず！ という論法は何度も指摘してるように 数学的証明として間違いです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/30
31: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/17(土) 16:20:24.91 ID:d5afoAk6 見つからないはずではなく、 l≧2は、一切存在が否定されます http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/31
32: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/17(土) 16:21:40.38 ID:d5afoAk6 ┣╋╋┫┏┳┳┓ ┣╋╋┫┗┻┻┛ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/32
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