美しい整数の世界 (780ﾚｽ)
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1(5): プリン 2023/06/14(水)22:33 ID:+e4oaJ0f(1/4) AAS
2を加えて立方数となる
平方数が25の他に整数で存在するか
この問題は一見するに
たいへん難しそうであるが，
私は25がそうした唯一の
平方数であることを厳密に
証明することができる
省8
2(1): 2023/06/14(水)22:35 ID:+e4oaJ0f(2/4) AAS
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
省36
3: 2023/06/14(水)22:38 ID:+e4oaJ0f(3/4) AAS
x^3-(x+k)^2=2…‥①
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
□■■□□
■■■□□
省8
4: 2023/06/14(水)22:40 ID:+e4oaJ0f(4/4) AAS
1900年の国際数学者会議において、
20世紀に取り組まれるべき
数学の問題として世界中の数学者に
示されたものですが、
その中に
「整係数多変数高次不定方程式が
整数解を持つかどうかを決定する
省18
5: 2023/06/14(水)22:45 ID:wrCAn/Y5(1/4) AAS
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=1]の
出力アルゴリズム
x=2n+1
y=2n(n+1)
z=2n(n+1)+1
n=1のとき、x=3,y=4,z=5
n=2のとき、x=5,y=12,z=13
省4
6: 2023/06/14(水)22:47 ID:wrCAn/Y5(2/4) AAS
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=2]の
出力アルゴリズム
x=4(n+1)
y=4(n+1)^2-1
z=4(n+1)^2+1
n=1のとき、x=8,y=15,z=17
n=2のとき、x=12,y=35,z=37
省2
7: 2023/06/14(水)22:55 ID:wrCAn/Y5(3/4) AAS
もともと神秘的な思考の持ち主だった
ピタゴラスは数の完全性という
ものに関心をもっていた
ピタゴラスは数の完全性は
その数の約数によって決まると考えた
とくに約数の和がその数自身と同じ
になる数こそが完全数だとみなした
8: 2023/06/14(水)22:56 ID:wrCAn/Y5(4/4) AAS
たとえば12の約数は1,2,3,4,6である
これは足すと16になる
こういう数を過剰数といった
10は1,2,5が約数だが足しても8にしか
ならないので不足数とよばれた
完全数でいちばん身近な例は6である
約数1,2,3を足すとちょうど6になる
省13
9: 2023/06/15(木)00:01 ID:uGTmhihV(1/4) AAS
ピタゴラスは友愛数というものも
提案していた
友愛数はペアになった二つの数で、
一方の数が他方の数の約数の和になる
ようなものをいう
ピタゴラス教団は220と284が
友愛数だというめざましい発見をした
省2
10(3): 2023/06/15(木)00:02 ID:uGTmhihV(2/4) AAS
フェルマーも完全数や友愛数に
興味をもっていた
ピタゴラス以降、
友愛数は220と284のペアしか
見つけていない
フェルマーはただちに17296と18416の
ペアを発見した
省5
11: 2023/06/15(木)00:03 ID:uGTmhihV(3/4) AAS
フェルマーは、さまざまな奇妙な発見をする
たとえば25・26・27という整数の
連続には、26が25(5x5)と27(3x3x3)に
挟まれるという特徴をもっている
いろいろ調べてみると、
このような26にあたるような数が
ほかにないらしいことがわかった
省4
12(1): 2023/06/15(木)00:41 ID:uGTmhihV(4/4) AAS
3^2+4^2=5^2
1^3+2^3+4^2=5^2
5^2+2=3^3
3^3-1^3=26
6^3+8^3=9^3-1
省1
13: 2023/06/15(木)09:15 ID:Xk+v0kZc(1) AAS
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の
出力アルゴリズム
[z-y=1]
Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}]
[z-y=2]
Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}]
省2
14: 2023/06/15(木)13:07 ID:9kicVImO(1/2) AAS
原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=8]の
出力アルゴリズム
x=4(2n+3)
y=4(2n+3)+(2n+1)^2-8
z=4(2n+3)+(2n+1)^2
n=1のとき、x=20,y=21,z=29
n=2のとき、x=28,y=45,z=53
省2
15: 2023/06/15(木)13:09 ID:9kicVImO(2/2) AAS
[定理]
隣接する二つの三角数の二乗の差は
立方数である
□■■□□□■■■■
■■■□□□■■■■
■■■□□□■■■■
□□□□□□■■■■
省11
16: 2023/06/15(木)16:29 ID:msnrkoTl(1/4) AAS
3^2+4^2=5^2
1^3+2^3+4^2=5^2
5^2+2=3^3
3^3-1^3=26
6^3+8^3=9^3-1^3
9^3-1^3=26(3^3)+26
3^2+3^3=6^2
省2
17: 2023/06/15(木)17:05 ID:msnrkoTl(2/4) AAS
11^3+12^3+13^3+14^3=20^3
18(1): 2023/06/15(木)17:09 ID:msnrkoTl(3/4) AAS
楕円曲線y^2=x^3-x+9上には、
±(0，3)，±(1，3)，±(1，-3)，±(9，27)，
±(35，207)，±(37，225)，±(46584，10054377)
および無限遠点の計15個もの
整数点が見つかるとのことです．
19: 2023/06/15(木)17:28 ID:msnrkoTl(4/4) AAS
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
20: 2023/06/15(木)21:55 ID:gQoPxRSL(1/4) AAS
最も小さな完全数は6である
完全数は6、28、496、8128、……と続くが、
1万以下の完全数はこの4つしかない
これまでに完全数は51個見つかっている
21(1): 2023/06/15(木)21:58 ID:gQoPxRSL(2/4) AAS
2018年に見つかった51番目の
完全数は4900万桁以上もある、
とてつもなく大きいものである
紀元前4世紀頃から続く研究の中で、
わずか51個しか見つかっていない
のだから、
完全数は相当珍しい数であることは
省4
22: 2023/06/15(木)22:00 ID:gQoPxRSL(3/4) AAS
最初の完全数が6であることは、
神が6日間で世界を創造した
(7日目は休息日：日曜日)ことと
関係があると言われている
イングランドへの布教で知られる
初代カンタベリー大司教の
聖アウグスティヌスも
省4
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