美しい整数の世界 (780ﾚｽ)

美しい整数の世界 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/

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1: プリン [sage] 2023/06/14(水) 22:33:36.78 ID:+e4oaJ0f 2を加えて立方数となる 平方数が25の他に整数で存在するか この問題は一見するに たいへん難しそうであるが， 私は25がそうした唯一の 平方数であることを厳密に 証明することができる 分数でなら， バシェの方法がそのような 平方数を無数に提供するが， 整数の理論はとても美しくて， とても精妙であって， 現在に至るまで， 私以外のどんな著者によっても 知られていないのである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/1

2: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:35:03.41 ID:+e4oaJ0f [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする x^3-(x+k)^2=2…‥① x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-k^2=2kx+2 x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥② x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ ②より、kは偶数，kx+1は奇数 ③より、 x^2(x-1)/2は奇数 x^2は奇数，(x-1)/2も奇数 したがって,(x-1)は奇数の二倍 つまり、xは4の倍数-1 x=4n-1，k=2mとおく x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入 (4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、 m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1 m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1 m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④ ④より、 右辺はnが偶数のとき奇数 左辺は常に偶数 したがってnは奇数 つまり、xは8の倍数-5 となる x=8l-5，k=2mとおく x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入 (8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1 (8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす つまり⑤は、 l=1，m=1しか解が存在しない l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入 ∴整数解は、k=2,x=3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/2

3: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:38:51.64 ID:+e4oaJ0f x^3-(x+k)^2=2…‥① {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす □■■□□ ■■■□□ ■■■□□ □□□□□ □□□□□ 25 x^3-(x+k)^2=2…‥① 3^2+4^2=5^2…‥⑤ ①から⑤、 原始ピタゴラス数の等式が 導出できる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/3

4: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:40:52.39 ID:+e4oaJ0f 1900年の国際数学者会議において、 20世紀に取り組まれるべき 数学の問題として世界中の数学者に 示されたものですが、 その中に 「整係数多変数高次不定方程式が 整数解を持つかどうかを決定する 一般的な解法を求めよ」という問題 (第10問題)がありました 現代風に言うと 「整係数多変数高次不定方程式が 整数解を持つかどうかを判定する アルゴリズムを示せ」 という意味であり、 当時あいまいであった アルゴリズムという概念について 数学者が考えるきっかけになりました そのような判定は非常に困難である ため、多くの数学者が 「そんなアルゴリズムはないだろう」 という予想に傾いて行きましたが、 「ない」と証明によって示すためには、 アルゴリズムとは何か、つまり、 計算できる範囲とはどこまでか、 をはっきりさせる必要がありました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/4

5: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:45:16.22 ID:wrCAn/Y5 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=1]の 出力アルゴリズム x=2n+1 y=2n(n+1) z=2n(n+1)+1 n=1のとき、x=3,y=4,z=5 n=2のとき、x=5,y=12,z=13 n=3のとき、x=7,y=24,z=25 n=4のとき、x=9,y=40,z=41 n=5のとき、x=11,y=60,z=61 … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/5

6: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:47:42.06 ID:wrCAn/Y5 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=2]の 出力アルゴリズム x=4(n+1) y=4(n+1)^2-1 z=4(n+1)^2+1 n=1のとき、x=8,y=15,z=17 n=2のとき、x=12,y=35,z=37 n=3のとき、x=16,y=63,z=65 … http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/6

7: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:55:03.22 ID:wrCAn/Y5 もともと神秘的な思考の持ち主だった ピタゴラスは数の完全性という ものに関心をもっていた ピタゴラスは数の完全性は その数の約数によって決まると考えた とくに約数の和がその数自身と同じ になる数こそが完全数だとみなした http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/7

8: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/14(水) 22:56:08.97 ID:wrCAn/Y5 たとえば12の約数は1,2,3,4,6である これは足すと16になる こういう数を過剰数といった 10は1,2,5が約数だが足しても8にしか ならないので不足数とよばれた 完全数でいちばん身近な例は6である 約数1,2,3を足すとちょうど6になる 次の完全数は28で、 1+2+4+7+14=28というふうになる ピタゴラスの教団にとって、 こうした完全数は信仰の対象とすらなった しかし、 この完全数はそんなに容易には見つからない 実際にも、 28の次の完全数は496、 4番目は8128で、 5番目は33550336、 6番目になると、 なんと8589869056というふうに 大きくなる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/8

9: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:01:24.80 ID:uGTmhihV ピタゴラスは友愛数というものも 提案していた 友愛数はペアになった二つの数で、 一方の数が他方の数の約数の和になる ようなものをいう ピタゴラス教団は220と284が 友愛数だというめざましい発見をした (220の約数の1,2,4…55,110の合計は284で、 284の約数の合計が220になる) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/9

10: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:02:16.42 ID:uGTmhihV フェルマーも完全数や友愛数に 興味をもっていた ピタゴラス以降、 友愛数は220と284のペアしか 見つけていない フェルマーはただちに17296と18416の ペアを発見した この発見は友人たちを刺激して、 デカルトは3番目のペア (9363584と9437056)を発見し、 オイラーにいたっては楽々62通りもの ペアをあげてみせた http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/10

11: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:03:07.74 ID:uGTmhihV フェルマーは、さまざまな奇妙な発見をする たとえば25・26・27という整数の 連続には、26が25(5x5)と27(3x3x3)に 挟まれるという特徴をもっている いろいろ調べてみると、 このような26にあたるような数が ほかにないらしいことがわかった フェルマーは得意になった ほかにそういう数があるなら 出してみなさいと言わんばかり なのである http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/11

12: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 00:41:22.52 ID:uGTmhihV 3^2+4^2=5^2 1^3+2^3+4^2=5^2 5^2+2=3^3 3^3-1^3=26 6^3+8^3=9^3-1 9^3-1=26(3^3)+26 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/12

13: １３２人目の素数さん [sage] 2023/06/15(木) 09:15:39.96 ID:Xk+v0kZc 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 の 出力アルゴリズム [z-y=1] Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,50},{a,1,3}] [z-y=2] Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}] [z-y=8] Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1686749616/13

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