[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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243(1): 2023/01/01(日)10:21 ID:dxBydmVP(1/19) AAS
Gが非可換群でもGの交換子群を[G,G]としたとき
G/[G,G]は必ずアーベル群になりますよ。
これが単位群でなければ、べき根の添加によって
ガロア群が真に縮小する。
そのべき根の構成はアーベル群(=G/[G,G])
の指標による指標和=ラグランジュ分解式
によってなされる。
244(1): 2023/01/01(日)10:27 ID:dxBydmVP(2/19) AAS
非可換単純群においてラグランジュ分解式を作っても
それはべき根解法には寄与しない、意味がないということ。
246(1): 2023/01/01(日)10:48 ID:dxBydmVP(3/19) AAS
Gをガロア群として、σを位数nの元とする。
ラグランジュ分解式は
θ+ζ_nσ(θ)+ζ_n^2σ^2(θ)+…+ζ_n^{n-1}σ^{n-1}(θ)
のような形になっている。
アーベル群の指標とは有限アーベル群からC^×への準同型写像のことであり
この場合で言うと、σ^k→ζ_n^k
という写像が、σが生成する巡回群<σ>からC^×への
省2
248(1): 2023/01/01(日)10:52 ID:dxBydmVP(4/19) AAS
勿論、σ^k→ζ_n^{lk} としてもいい。これでも準同盟。
つまり、「自然な形」にすると準同型写像になってるってこと。
そう言えば、工学バカは「準同型写像」も知らなかったな？ｗ
251(12): 2023/01/01(日)11:23 ID:dxBydmVP(5/19) AAS
で、わたしが大学の頃レポートで書いたのは
要するに、アーベル群A=G/[G,G]の元σと指標χ∈A^
として
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)
という指標和を考えてやると、これがべき根になっていて
（実際、この和を(χ,θ)とおくとσ(χ,θ)=χ(σ)^{-1}(χ,θ)
が成立するから、(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
省5
252: 2023/01/01(日)11:30 ID:dxBydmVP(6/19) AAS
>(χ,θ)の適当なべき乗はガロア群の作用で不変）
勿論、これをすっきり言うために、指標χの値として生じる1のべき根を
予め基礎体に添加しておくのである。
この辺り、もしこの前提を無くしたらどうなるか？とかも
当時はある程度考えていたが、そのうち関心が別に移った。
258: 2023/01/01(日)14:23 ID:dxBydmVP(7/19) AAS
>過去 限界の5次式で
バカ、ここに極まれりｗ
素人の世界ではそうかもしれないが、数学者は遥に先を行っている。
結局、これは「ガウス和の決定」という問題に帰着する。
これは偏角の決定まで含めると、一般的には大変難しい問題だが
だからと言って「個々の場合」が「p=11とかその程度」
しか計算されてないなんてことはありえない。
省1
259: 2023/01/01(日)14:30 ID:dxBydmVP(8/19) AAS
フーリエ逆変換がペダンチックだと言うなら
「指標の直交性」からもっと直に計算式を示すこともできる。
ただし、1はクレクレバカで、自分で計算せずに
ひとがやってくれることを期待してるから
自分で理解せずに結果だけ見て、そんなの楽しいの？
としか思わない。
260(1): 2023/01/01(日)14:37 ID:dxBydmVP(9/19) AAS
「偏角決定なし」で、べき根の中身だけなら
>>120の公式より、ヤコビ和という比較的簡単な和
から計算できる。
261(1): 2023/01/01(日)15:08 ID:dxBydmVP(10/19) AAS
>>251に書いた通り
Σ_{σ∈A}χ(σ)σ(θ)=(χ,θ)
で、これがべき根になってるわけ。
ここから逆にθを得るには
(1/n)Σ_{χ∈A^}(χ,θ)=θ（ただし、n=|A|）
とするだけ。具体的な計算はともかく
理念的にはとても簡単。
274(1): 2023/01/01(日)20:05 ID:dxBydmVP(11/19) AAS
ζ_p=exp(2πi/p)
χはpを法とするディリクレ指標
τ(χ)はガウスの和 Σ_{j=1}^{p-1}χ(j)ζ_p^j
(1) ζ_p=1/(p-1)Στ(χ) （和はすべてのχに渡る）
sin(2π/p)=-i/(p-1)Στ(χ) （和はχ(-1)=-1なるすべてのχに渡る）
cos(2π/p)=1/(p-1)Στ(χ) （和はχ(-1)=1なるすべてのχに渡る）
省3
275(1): 2023/01/01(日)20:06 ID:dxBydmVP(12/19) AAS
2/cos(2π/11)
=8(cos(4π/11)+cos(12π/11)+cos(20π/11))
=8/10Σ(χ~(2)+χ~(6)+1) τ(χ)
（和はχ(-1)=1なるすべてのχに渡る，χ~は複素共役。
展開の各係数に8(χ~(2)+χ~(6)+1) が掛けられる。それだけの話
277(1): 2023/01/01(日)20:15 ID:dxBydmVP(13/19) AAS
(1) ζ_p=1/(p-1)Στ(χ) （和はすべてのχに渡る）
の両辺にσ∈Gal(Q(ζ_p,ζ_{p-1})/Q(ζ_{p-1}))
を作用させてみましょうか。
σ(ζ_p)=1/(p-1)Σχ~(σ)τ(χ)
となる。これもフーリエ級数展開の類似。
一つの根の展開が分かれば、他の根の展開も自動的に分かる仕組み。
279: 2023/01/01(日)20:17 ID:dxBydmVP(14/19) AAS
>これが、知りたかったんだ
>Kummer 拡大 一目瞭然！
いや、貴方みたいに頭の悪いひとが、そんな明瞭な理解が
得られるわけないから、気分的な錯覚ですよｗ
コピペできることに喜んでるだけでしょう。
281(2): 2023/01/01(日)20:23 ID:dxBydmVP(15/19) AAS
「フーリエ級数展開の類似」というのは
別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
変更させるものではないですよ。
前にも言ってありますが。
いろいろ考える際の「見通し」に関わってくるだけ。
いろいろ自分で考えない1=雑談氏には詮無い話。
287: 2023/01/01(日)22:20 ID:dxBydmVP(16/19) AAS
まずご自分の義務>>284を果たされては？
288(1): 2023/01/01(日)22:27 ID:dxBydmVP(17/19) AAS
>別にそれが分かったからと言って、既存の解法を
>変更させるものではないですよ。
「既存の解法に新しい解法を付け加えるものではない」ということです。
ちなみに、大学時代に書いたレポートは離散フーリエ変換
なんてシャレた用語は知らなかったので、単に有限アーベル群の
指標の性質だけを使いました。
双対性というテーマが非常に気に入った点。
289(1): 2023/01/01(日)22:31 ID:dxBydmVP(18/19) AAS
>>274と比較すれば、>>251はほぼ自明な拡張しか行っていないので
ま、考えて見れば学生レポートあたりが妥当なところ。
べき根解法の構造が透明にはなっていると思う。
292: 2023/01/01(日)23:04 ID:dxBydmVP(19/19) AAS
>>291
貴方がされては？
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