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純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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343: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 10:40:16.43 ID:H9hi5b0B >・この議論の最大の問題点は、実行可能性だと指摘しています それだったらラグランジュ分解式による解法だって同じですが。 指標または離散フーリエ変換を使った解法はラグランジュ分解式による解法と等価。 ・ガロア群の作用は分かっているとする。 ・ガロア群の作用によって不変な数を、係数の有理式として導く方法も分かっているとする。 ただし、「有限アーベル群の指標χを使う」という点は、巡回的なラグランジュ分解式 ではないという点で、ちょっと自明ではない。 そして、この場合も解法は完璧に行く。 わたしは自分では自明に近い拡張だと思っていたが、気づかないひとは一生気づかないかもねｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/343
346: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 11:00:21.62 ID:H9hi5b0B なんで「そこ」がヴァンデルモンドになることがわたしの盲点になったかというと わかるすうがく氏は、巡回函数を使っていたから 1 1 1 1 ω ω^2 1 ω^2 ω と並べて、ヴァンデルモンドじゃん、と言ったわけですが 指標χを使った場合、たとえばガロア群が(Z/pZ)^*の場合 χ_1(1) χ_1(2) ...χ_1(p-1) χ_2(1) χ_2(2) ...χ_2(p-1) ............................ χ_{p-1}(1) ....χ_{p-1}(p-1) と頭の中で並べていたからということなんですがね。 巡回函数というのは(Z/pZ)^*の生成元をgとして、g,g^2,... と並べるわけですが、数論では1,2,... と並べる、つまり(Z/pZ)を環として、その構造の中で 自然な同型の元での乗法群と考えることが必要 であることが実際にあるからなんですが。 （実際、数論的なガウス和というのはそうなっている。） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/346
347: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 11:09:20.30 ID:H9hi5b0B χ_1を生成元としてχ_2=χ_1^2, χ_3=χ_1^3 と並べれば、ヴァンデルモンドになりますが 諸般の事情があって、盲点だったわけですねｗ ほとんど得することのないこのスレの中で これを知ったのは、少し得した気がするｗ あと離散フーリエ変換ね。言い出したのはわかる数学氏ですから。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/347
352: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 11:59:27.88 ID:H9hi5b0B >べき根表示が一挙に得られるという話”>>339は、取り下げですね これの意味するところは、ガロア群が可解群のとき べき根解法において、組成列を巡回群まで分解しなくても アーベル群レベルの分解でいいってことですよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/352
353: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 12:03:50.42 ID:H9hi5b0B >>350 貴方の場合、「どこかに書いてある」ということに 満足感を覚えるだけで、自分の頭で理解することには無頓着 それは「数学をやる」とは言わない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/353
369: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 13:42:46.94 ID:H9hi5b0B 「論文にならない」と思うことをここに書いているｗ 数多あるガロア理論の本のどこに書いてあるのかないのか知らない。 一般的な文脈では、Wikipediaのポントリャーギン双対の項に書いてある。 専門家は当然知っていると考えるべき。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%A3%E3%83%BC%E3%82%AE%E3%83%B3%E5%8F%8C%E5%AF%BE ここに付け加えるべきものは、アーベル拡大L=K(θ)/K においてG=Gal(L/K) ・θとその共役をG上の複素数値函数と見なす。 ・Gとその双対群=指標群についての離散フーリエ変換の像が実際にべき根になっている という注記だけ。すると、以下の文脈に完全に当てはまる。 ・有限アーベル群上の複素数値函数はその （もとの群と自然同型ではないが同型な） 双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち 有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換 から復元することができる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/369
370: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 13:48:32.95 ID:H9hi5b0B >>361 指標の勉強はオススメしますよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/370
374: １３２人目の素数さん [sage] 2023/01/03(火) 14:26:45.93 ID:H9hi5b0B クンマー拡大も調べてみれば分かると思うが 「広義」というのがあって、べき根を一つではなくいくつも一斉に添加しているやつ。 基礎体には必要な1のべき根は含まれているとする。 これは要するに ・あるアーベル拡大L/Kがある ・指標から生じる1のべき根（一つにまとめてζ_nとする。）をすべて添加する。 ・L(ζ_n)/K(ζ_n)が広義クンマー拡大になっている ということになるから、自然な話だと分かるはず。 専門家が知らないなんてありえないねｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/374
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