微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
216(1): 2023/01/18(水)20:52 ID:GVrhidla(1) AAS
>>215
クリフォード代数はプラスマイナスゼロの代数
符号を持ったゼロの代数。
217(3): 2023/01/19(木)00:18 ID:Hg3Prz2/(1) AAS
電磁気の理論において、場の強さをあらわす2-形式Fは
マックスウェルの方程式によりdF＝０を満たしている
つまりこの2-形式は閉じているというわけだから、ある
1-形式Aによって、F＝dAという形に書けるであろう
我々は1-形式Aをゲージポテンシャルなどとよんでいる
218: 2023/01/19(木)01:53 ID:9iPpyJu8(1) AAS
ベクトルポテンシャルだろ
219: 2023/01/19(木)07:44 ID:VCsBMaCI(1) AAS
>>215-217
表裏がある境界
220: 2023/01/19(木)17:45 ID:QU4kCMAF(1/2) AAS
1950年代にヤンとミルズは、電磁気の理論を2成分を持つ
波動関数によって表される核子の場へ理論を一般化した
そこでもやはりゲージポテンシャルの1-形式Bが活躍する
D=∂+igBとおくと、その交換子［D,D］は＝(ig)Fであり
場の強さを表し、Dは一般化された共変微分となっている
221: 2023/01/19(木)22:43 ID:QU4kCMAF(2/2) AAS
上で、(ig)Fのところ正しくは(-ig)F
マイナス符号が抜けてたので訂正する
222(2): 2023/01/20(金)01:09 ID:N/pxrwQ8(1) AAS
>>217
数学ではAは接続1-形式、Fは曲率2-形式に相当する
ちなみに、dF=0 はビアンキの恒等式と呼ばれている。
223: 2023/01/24(火)01:47 ID:tsutDPmj(1) AAS
>>222
へぇ〜それは知らなかった
数学の本ではそんな説明無いからなあ
224: 2023/01/24(火)09:59 ID:R+BeihEu(1) AAS
ビアンキを米国人は梅安記と呼ぶ
225: 2023/01/29(日)16:12 ID:io8VUDqx(1/2) AAS
複素解析学特論
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
226: 2023/01/29(日)16:13 ID:io8VUDqx(2/2) AAS
>>222
3-形式は物理的に何を意味しているの？
227: 2023/02/07(火)03:22 ID:ERCLl8A7(1) AAS
超弦理論に出てくるD-ブレーンというのを微分形式で記述出来るそうだ
228: 2023/02/08(水)02:18 ID:jt7fPU+P(1) AAS
dωのdは双対境界写像でしょ？
じゃあdx∧dyのdはなんなんだろう
dxが1形式なのでxは0形式
ある点の局所近傍に対応付けられたR^n上のうちある一つの成分についてφ(x)=∂[a,b]={a}∪{b} (a,b∈R)ならφ(dx)は[a,b]
dx=φ*([a,b])といったところかな？
局所近傍ゆえの無限小っぽさはある
229: 2023/02/08(水)02:19 ID:CWDZB5GA(1) AAS
はい
230(1): 2023/02/08(水)06:25 ID:tQDGIJEE(1) AAS
圏論的？
231(1): 2023/02/09(木)22:41 ID:CS4LdbzO(1) AAS
Xが完備ケーラーなら、L^2調和な(p,0)形式は正則である
ケーラーで無い場合は？
232: 2023/02/09(木)22:56 ID:IHBT6Jl6(1) AAS
証明は完備かつケーラーの場合しか知らない
233(2): 2023/02/10(金)09:48 ID:TLtLyVEx(1) AAS
コンパクトなケーラー多様体上の
調和形式の(p,0)成分は正則になる。
ホップ曲面上の任意のエルミート計量に対し、
0でない実調和1形式の
(1,0)成分は正則ではない。
234: 2023/02/10(金)14:15 ID:j+TfyzvY(1) AAS
>>233
サンクス
235: 2023/02/10(金)17:04 ID:vIdvZOAj(1) AAS
>>187
え？微分形式でしょ
236: 2023/02/11(土)15:19 ID:vhbHL1HH(1) AAS
>>233
ケーラーの場合 △ =2□ が成り立つため、調和性 △ω=0から □ω=0が従い、
完備性から ∂ω=0, ∂‾ω=0 が従うので、正則となる。
しかし，ケーラーでない場合は、 △ =2□ とは限らない。
237: 2023/02/13(月)13:19 ID:XfvYwo7U(1) AAS
>>231
コンパクトでRicci flatはケーラー多様体上の調和(p,0)-形式は平行(定数形式)である。
238(1): 2023/02/13(月)17:10 ID:rHAI4VfQ(1) AAS
(1/2,0)-形式とか(-1/2,0)-形式の場合はどうなるか
239: 2023/02/14(火)14:40 ID:U6zPaZsc(1/2) AAS
>>238
そもそも 1/2-form dx^(1/2)や-1/2-form dx^(-1/2)の定義は？
240(1): 2023/02/14(火)14:44 ID:iLM43Jn9(1) AAS
それは変換関数系の分数べきが意味を持てば
自然に定義できる
241: 2023/02/14(火)15:36 ID:U6zPaZsc(2/2) AAS
具体的に1次元ユークリッド空間Rのとき、dx^(1/2) って何？
242: 2023/02/14(火)19:46 ID:dF+0yQ/M(1) AAS
>>240
交代性はどうすんの？
例えば、dx^(1/2) ∧ dx^(1/2) は0か、それとも指数法則で dx か？
テンソル積と違い交代性があるから、単純に変換関数だけでは処理できないのでは？
標準束のルート束もベクトル束ではなく、K群の元としてしか意味持たないし
243: 2023/02/14(火)21:31 ID:feBbhNmb(1/2) AAS
>>交代性はどうすんの？
ベクトル空間の外積をあてはめるだけ
一般のベクトル束の外積と同様
244(1): 2023/02/14(火)21:37 ID:5CVs0lXQ(1) AAS
一般の複素数ｃに対して
(c,0)形式というものが考えられるらしい
245: 2023/02/14(火)21:38 ID:feBbhNmb(2/2) AAS
>>244
ソースは？
246(1): 2023/02/15(水)17:56 ID:d237uh+Z(1) AAS
確率微分方程式で√dtみたいな形を見たことがあるが
あれは正規分布の標準偏差が√dtだからって理由で
微分形式と一緒にしていいものなのか分からない
一応確率の組み合わせという文脈で掛け算も出来た筈だが
247: 2023/02/15(水)19:18 ID:rEpklfRi(1) AAS
>>246
確率過程だと (dW_t)^2 = dt とかそういうのがあるからでは？
（この二乗はどういう積なんだっけ、ウェッジ？）
248(2): 2023/02/19(日)18:34 ID:AIhRT60O(1) AAS
>>217
ストリングの理論においても高階の微分形式によって
表されるポテンシャルがあって、それが弦を一般化した
Dブレーンと結合することで相互作用が生じるわけだ
ストリング理論も一般化された一種のゲージ理論である
249(2): 2023/02/22(水)18:59 ID:IvrdmkQp(1) AAS
微分形式があるのなら積分形式あるのだろうな。
250(1): 2023/02/22(水)19:33 ID:SmIi6TKA(1) AAS
>>249
サイクルだな
251: 2023/02/22(水)23:06 ID:VdZ75au0(1) AAS
>>248
Dブレーンて高次元の幕の様なもんちゃうの？
252: 2023/02/25(土)18:31 ID:+adLyIDo(1) AAS
>>250
> サイクルだな
正確にはチェインだな
サイクルは ∂c=0を満たさなくてはならない、
これは微分形式でいえば dω=0 の閉形式に相当する。
253: 2023/02/25(土)18:59 ID:jF+8uFdv(1) AAS
そうだチェインだ
閉じてない領域上も積分はできるからな
254: 2023/02/26(日)09:37 ID:oixAbryR(1) AAS
spin foam
255: 2023/02/26(日)20:28 ID:0fLbOhee(1) AAS
微分形式もチェインもカレントになる
256(1): 2023/02/26(日)20:42 ID:jpPe3Bwx(1) AAS
チェインって加群の列やろ？
積分形式は境界作用素とちゃうか？
257: 2023/02/26(日)21:27 ID:hj4BEixb(1) AAS
積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学
―ストークスの定理から変分公式まで―
著者 小池 直之 著
発売日 2022/09/12
ISBN 9784320114753
体裁 A5・400頁
定価 5,280円 （本体4,800円 + 税10%）
省15
258(1): 2023/02/27(月)00:07 ID:2JBQ3w9d(1/2) AAS
>>256
境界作用素もおかしかった
加群の元が積分形式や
つまり微分形式は同時に積分形式でもあるんや
259: 2023/02/27(月)01:54 ID:leMxYw92(1) AAS
微分形式の平方根はどうなる？
260: 2023/02/27(月)02:07 ID:o3DQcYIK(1/2) AAS
Jacobianの平方が出てくる
知らんけど
261: 2023/02/27(月)02:07 ID:o3DQcYIK(2/2) AAS
平方→平方根
262(4): 2023/02/27(月)08:18 ID:2JBQ3w9d(2/2) AAS
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jは微分形式っぽいけど微分形式じゃない
263: 2023/02/27(月)08:55 ID:vYVemDVA(1/2) AAS
>>258
お前は境界知能ではなくて知的障害
264: 2023/02/27(月)08:57 ID:vYVemDVA(2/2) AAS
>>262
お前はただの知的障害者
265(1): 2023/02/27(月)10:38 ID:6mCrLH9h(1) AAS
>>262
対称微分形式でしょ？
266: 2023/02/27(月)10:52 ID:a1w3N5hJ(1) AAS
>>262
対称テンソルです
まあどっちでもいいや
267: 2023/02/27(月)11:13 ID:OR6Po6Su(1/3) AAS
>>262
>>265
テンソルと共変ベクトル反変ベクトルって難しいよな
おれも最初わからなかった
dsは微分形式だ
逆にここのdx^i dx^jは微分形式じゃなく記号
268(1): 2023/02/27(月)11:17 ID:OR6Po6Su(2/3) AAS
正確にいえば(ds)^2が2-微分形式か
269(1): 2023/02/27(月)12:15 ID:LiyMWZUS(1) AAS
微分形式とは、微分可能多様体上に
定義される共変テンソル場のこと。
270: 2023/02/27(月)12:17 ID:aBN38Voi(1) AAS
>>268
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^jって微分形式のウェッジ積じゃなくて単なる積で表されるから微分形式じゃないと思った
271: 2023/02/27(月)15:19 ID:MGx5FJPo(1) AAS
対称テンソルを微分形式とは呼べないが
エルミート計量はその基本形式としばしば
同一視される
272(1): 2023/02/27(月)16:51 ID:EnSayiK5(1/2) AAS
微分形式は交代性を満たさなくてはならないが(外積束の切断)、
(ds)^2=g_{ij} dx^i dx^j は交代性は満たさないので微分形式ではない。
対称性をみたすただのテンソル場(対称テンソル束の切断)。
273: 2023/02/27(月)16:52 ID:EnSayiK5(2/2) AAS
>>269
ダウト！
交代性が必要
274: 2023/02/27(月)17:30 ID:/uCl+tt1(1) AAS
>>272
その通り！
ウェッジ積は交代的だから、リーマン計量は微分形式ではありませんね
275: 2023/02/27(月)20:02 ID:OR6Po6Su(3/3) AAS
勘違いしてたけど確かに(ds)^2はただの2次形式だな
“微分”形式ではない
276: 2023/02/28(火)08:20 ID:KNSme0hL(1) AAS
2次形式の変数を微分に変えたものが2次微分形式。
277: 2023/02/28(火)09:11 ID:95rDTgOy(1) AAS
変数を微分に変えるというのは
幾何的に何を意味しているのか
278: 2023/02/28(火)10:46 ID:Lp1W0+I5(1) AAS
接ベクトル束上の関数を考える
279: 2023/02/28(火)14:22 ID:Iek6rGTo(1) AAS
なるほど！
280: 2023/03/01(水)17:44 ID:0ShTBkWP(1/2) AAS
>>249
微分形式を積分するわけだけども
積分形式の微分は何になるのかな？
281: 2023/03/01(水)18:24 ID:yoaR/5od(1) AAS
・境界説
・接ベクトル（微分係数）説
を提唱する
282: 2023/03/01(水)18:58 ID:0ShTBkWP(2/2) AAS
微分形式でコホモロジーが作れるけど
積分形式からホモロジーが出るんかな？
283(2): 2023/03/02(木)20:35 ID:VrkpXNWd(1) AAS
二次形式を計量テンソルとする対称微分形式が微小な線素の長さを表すのなら、
三次形式や四次形式は何を表すか。
クリストッフェル記号とか曲率テンソルなのだろうか？
284: 2023/03/02(木)20:48 ID:FMn5P81u(1) AAS
>>283
気分で書き込むなよ
n次テンソルは線形空間で、その中の特別なものが計量や曲率と名付けられてる
だからn次=○○みたいな考え方はおかしい
285(2): 2023/03/03(金)07:58 ID:xFJJi9eq(1) AAS
外微分作用素dの双対である余微分作用素はホッジのスター作用素*とdを併用して
*d*と表せる
286(1): 2023/03/03(金)13:54 ID:dHs/cB83(1) AAS
>>283
n次元一般リーマン多様体上の計量テンソルならば基底ベクトル場に対する正定値性は必要無く、単に対称な二階テンソル場であればいい
独立成分はn(n+1)/2個
クリストッフェル記号Γは(1,2)形式について
Γ^i_{jk}=Γ^i_{kj}
であるので独立成分はn^2(n+1)/2個
リーマン曲率テンソルRは(1,3)形式では共変微分の括弧積で表されることから負でも良い添字を下ろした際に(0,4)形式について
省17
287(1): 2023/03/03(金)16:35 ID:bPiim5l7(1) AAS
>>285
符号が必要
>>286
> クリストッフェル記号は物理学的流儀だと座標変換則の観点からテンソルには常にならない
数学的にもクリストッフェル記号はテンソル場にはならない。
クリストッフェル記号は共変微分∇の成分表示したもの、
そもそも「共変微分」という微分作用素なので、テンソル場にはなり得ない。
288: 2023/03/03(金)17:53 ID:HJMiEIYX(1) AAS
>>285
その余微分作用素が、積分形式の微分と考えられるのかな？
289: 2023/03/03(金)18:42 ID:N+q7VqT+(1) AAS
>>287
>符号が必要
そうでした
すみません
290(2): 2023/03/03(金)18:56 ID:t7xp2dxk(1) AAS
emanの物理学見てたけど馬鹿だから結局リーマン曲率とかクリストッフェル記号とかは分かったような分からないような理解しかできてない
誰か分かりやすく説明してくれねえか
291(2): 2023/03/03(金)23:00 ID:FETRX67d(1) AAS
>>290
クリストッフェル記号は↓
外部ﾘﾝｸ[html]:eman-physics.net
リーマン曲率テンソルについて
曲率のある空間中でベクトル場を平行移動すると、ベクトル場の方向がズレる
例えば地球上で東方向に向いたベクトルを平行移動する
ベクトルの方向に対して前方にπ/2、左方にπ/2の順と、左方にπ/2、前方にπ/2の順だと最終的なベクトルの向きが異なる
省3
292: 2023/03/04(土)02:19 ID:WJLclx/W(1) AAS
そのベクトルの変換のなす群がホロノミー群やな
293: 2023/03/04(土)20:27 ID:gUGSGHd2(1) AAS
>>291
ここでの共変微分は共変ベクトルへの作用としてのね
294: 2023/03/04(土)22:02 ID:gq7e3eM3(1) AAS
>>291
基底ベクトル場に沿った共変ベクトルの共変微分
295(1): 2023/03/05(日)01:51 ID:nZWbIWMQ(1) AAS
共変微分があるなら
共変積分もあるのかな？
296: 2023/03/05(日)17:25 ID:QthrJnVy(1) AAS
微分形式（接分布）に対して、積分多様体という概念がある
ベクトルばの積分曲線の高次元版に当たる
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 434 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.023s