微分形式 (730ﾚｽ)
上下前次1-新
129: 2022/12/12(月)13:33 ID:rhV6xRHH(1) AAS
>>128
Demaillyの講義録
130: 2022/12/13(火)12:51 ID:3VuaDUk0(1) AAS
>>128
洋書なら沢山あるけど、日本語だと証明まで真面目に書いている本って無いのかも
131: 2022/12/13(火)21:28 ID:utO4JB0Z(1) AAS
秋月康夫の「調和積分論」は
古すぎますか？
132(1): 2022/12/14(水)07:39 ID:HwNAEQvC(1) AAS
北原、河上の「調和積分論」は？
133(1): 2022/12/14(水)09:36 ID:G5iUW+22(1) AAS
本書は大学教養程度の数学の知識、即ち多変数の微積分と線形代数、のみを仮定して「調和積分論」を論じるという大胆な試みの書である。本書で述べられている調和積分論のHodgeの主定理（Hodge-小平の分解定理）の証明は見事であり(*0)、熱核を用いるAtiyah-Singer理論へと読者を誘ってくれることだろう。
本書を読んで感銘をうけるのは、幾何学研究に適用される「変分法の適用範囲の広汎さ」である。私の知識の範囲においても、すぐに以下の理論を挙げることができる。
(1) 大域変分法への適用: Morse理論、調和写像の理論
(2) Gauge理論への適用: 例えば、Yang-Mills理論
(3) 調和積分論への適用: 例えば、de-Rham･Hodge理論 （本書の主題である）
これらのどの一つを取っても、素晴らしく美しい理論である。これらの理論を学べば、幾何学的な対象に適用される変分原理の摩訶不思議な調べに一層魅せられるのではなかろうか。
134: 2022/12/14(水)14:05 ID:zDUTI069(1) AAS
>>133
外部ﾘﾝｸ[html]:natsuyamahanabi.livedoor.blog
135(1): 2022/12/14(水)22:27 ID:2JfTEDyd(1) AAS
>>132
日本語でまともに書いてあるのはこの本くらいですね
証明は熱流の方法を使っているのが特徴だが、解析の基礎(弱解の正則性など)は証明してない
前半が微分幾何の基礎事項にあてているから、どうしても証明をきちんと書くにはページ数が足りない
136(1): 2022/12/14(水)22:32 ID:xGXIuy9C(1) AAS
>>135
熱方程式の場合
非線形になると弱解の正則性をちゃんと書いたものは
英語の文献でもほとんどない
137(1): 2022/12/15(木)10:18 ID:XRNW/Fid(1) AAS
シュワルツ超函数に対応するものとしてカレントがある
わけだけども、佐藤超函数に対応させるとどうなるのか
佐藤超函数のコホモロジーと微分形式のコホモロジーが
合わさったようなものが存在するのだろうか
138(2): 2022/12/15(木)11:15 ID:kLN3C4DZ(1) AAS
カレンとで思い出したけど、ドラームの翻訳本があったね
まあ殆ど手に入らないけど、このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか
ド・ラーム， 微分多様体 : 微分形式・カレント・調和形式，東京図書 (1974)
139(2): 2022/12/15(木)11:46 ID:itdNU1//(1/3) AAS
>>138
>>このシリーズ復刊すれば需要あるんじゃないか
この本も、ヘルマンダーの本も、復刊されないのには
それなりの理由があるのだろう。
140(1): 2022/12/15(木)14:22 ID:VHHzYaPG(1) AAS
>>137
局所コホモロジーならとうぜん超局所解析で
D加群でも指数定理まで出来上がってるんじゃないの？。
知らんけど
>>139
秋月調和積分論の上巻が思いっきりカレントの理論の話なんだね。
ぜんぜん知らんかったわ。
141: 2022/12/15(木)15:20 ID:SGmCP3qH(1/5) AAS
>>136
非線形は解析の結果を引用するでいいんじゃないか
幾何で問題になるのは大域解の存在だが、それは論文でも結構怪しいのがある
結果的には正しいけど、解析の結果を正しく使えてなかっなり、仮定を全部満たすことをチェックしていないとかはある
142(1): 2022/12/15(木)15:30 ID:SGmCP3qH(2/5) AAS
>>138-139
権利関係かな
でもシュプリンガー(丸善？)は翻訳書を復刊しているし、単純に出版社のやる気かもしれない
東京図書は最近専門書より、教養の教科書レベルしか出してない印書があるんだけど
143: 2022/12/15(木)16:43 ID:iG/nmIhy(1/2) AAS
>>142
読んだことがあればはっきりわかる一つの理由がある
144(1): 2022/12/15(木)18:48 ID:SGmCP3qH(3/5) AAS
誤訳が多いのか？
145(2): 2022/12/15(木)19:02 ID:iG/nmIhy(2/2) AAS
そう。高橋訳は特に。
146: 2022/12/15(木)19:10 ID:SGmCP3qH(4/5) AAS
>>145
おそらく院生にやらせたんだろう
147(1): 2022/12/15(木)19:45 ID:WKhKwhG3(1) AAS
>>144-145
へぇ〜そうなんだ、知らなかったなあ
もっともド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw
Bott-Tuを訳した三村も訳が酷かったなあ
昔の教授は院生をこき使ってたいたというからね
148(1): 2022/12/15(木)21:05 ID:itdNU1//(2/3) AAS
>>147
>>ド・ラームの本なんて難しくて訳が完璧でも読む気は無いけどw
>ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本は
訳は多分完璧。
149(2): 2022/12/15(木)22:01 ID:SGmCP3qH(5/5) AAS
>>148
ヴェイユの続編ってどの本のこと？
150: 2022/12/15(木)22:07 ID:itdNU1//(3/3) AAS
>>149
>>ヴェイユの続編ってどの本のこと？
148には「ド・ラームの本の続編にあたるヴェイユの本」と書いたわけだが
このヴェイユの本の続編をお尋ね？
151: 2022/12/18(日)12:31 ID:UFHUDiIE(1) AAS
>>140
もしあるのなら、例えば"hyperforms"のように
currentとは別の名前で呼ぶべきだと思うんだが
152: 2022/12/20(火)13:00 ID:R0GrT6qP(1) AAS
画像ﾘﾝｸ[jpg]:i.imgur.com
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省5
153: 2022/12/21(水)22:36 ID:d2Z4gYmn(1/2) AAS
>>149
ケーラー多様体論入門 (シュプリンガー数学クラシックス) 単行本 – 2010/9/11
アンドレ・ヴェイユ (著), 佐武 一郎 (翻訳), 小林 昭七 (翻訳)
154: 2022/12/21(水)23:11 ID:d2Z4gYmn(2/2) AAS
この続きでここまでまとまりの良いものを書くのは難しい
155: 2022/12/22(木)07:56 ID:fsr6819L(1) AAS
ドラームとヴェイユは古典
156: 2022/12/22(木)09:42 ID:PmJUD9hr(1/2) AAS
進化系がHodge予想
157: 2022/12/22(木)09:44 ID:PmJUD9hr(2/2) AAS
ホッジ予想 (Hodge Conjecture)
複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、
つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。
158(1): 2022/12/22(木)17:15 ID:Z8unMak0(1) AAS
一種のGAGA？
159: 2022/12/23(金)01:56 ID:0t7NOGX0(1/6) AAS
Hodge予想
X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべての(p,p)次の有理ド・ラームコホモロジー類は、
X の複素部分多様体のコホモロジー類の有理数係数の線形結合となるだろう。
p=1の時はLefschetzの定理でOK。
160: 2022/12/23(金)08:14 ID:6xFNalbd(1/2) AAS
これが解けないから
nonlineaar-Hodgeでお茶を濁す
161: 2022/12/23(金)11:27 ID:t8Xe5Ug0(1/2) AAS
訂正
nonlineaarー−＞nonlinear
162: 2022/12/23(金)13:16 ID:ug8NJUkz(1/3) AAS
Hodge予想はTate予想との関連も指摘されてたよね
163: 2022/12/23(金)13:28 ID:ALzI+m8I(1/2) AAS
>>158
GAGAって何？
164: 2022/12/23(金)13:31 ID:ALzI+m8I(2/2) AAS
ミレニアム問題だから、相当難しいんだろうね
ただ、ミレニアム問題の中では、一番解かれそうと言われている
165(1): 2022/12/23(金)13:34 ID:ug8NJUkz(2/3) AAS
GAGAは「Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique」
Hodge予想はLefschetz定理とGAGAから思いついたのではないか
166(1): 2022/12/23(金)13:55 ID:0t7NOGX0(2/6) AAS
>>165
なるほど
Hodge予想は1950年のケンブリッジ大学でのICMで発表されたとある
それとは別に、ホモロジー類の代表元を部分多様体で実現できるか？という問題も一時期考えられていたが、
それとも関係あるのでは？
167: 2022/12/23(金)13:58 ID:0t7NOGX0(3/6) AAS
Hodge予想
外部ﾘﾝｸ:www.jstage.jst.go.jp
168: 2022/12/23(金)14:07 ID:ug8NJUkz(3/3) AAS
>>166
そうか間違えた、Hodge予想のほうがGAGAより先だね
けど、Hodge予想もGAGA的な現象なのかもしれない
169: 2022/12/23(金)14:17 ID:0t7NOGX0(4/6) AAS
着想の原点はLefschetzの超平面定理(1924年)だろう
ド・ラームの定理より前
170(1): 2022/12/23(金)14:39 ID:t8Xe5Ug0(2/2) AAS
GAGA的な現象の走りは
1939年の「岡の原理」
171: 2022/12/23(金)15:18 ID:0t7NOGX0(5/6) AAS
Hodge分解の基礎からHodge予想まで書いてある本では次が有名かな
C.Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry, I,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 76, (2002)
C.Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry II,
Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 77, (2003)
172(1): 2022/12/23(金)15:19 ID:0t7NOGX0(6/6) AAS
>>170
Hodgeによる調和積分論が先じゃないか（証明に不備があったにせよ）
173: 2022/12/23(金)18:44 ID:6xFNalbd(2/2) AAS
>>172
調和積分論と岡の原理は
互いに独立な理論
174(1): 2022/12/25(日)15:51 ID:O2DsbGsM(1/3) AAS
両方ともポアンカレが元ネタ
175(2): 2022/12/25(日)17:33 ID:hpar9BDb(1/2) AAS
岡の原理って、シュタイン多様体なら連接層のコホモロジーが消えるってやつ？
それならポアンカレの補題の発展版だよね
176: 2022/12/25(日)17:37 ID:O2DsbGsM(2/3) AAS
>>175
無茶苦茶言うな
177: 2022/12/25(日)17:44 ID:O2DsbGsM(3/3) AAS
岡の原理は岡多様体
178: 2022/12/25(日)17:56 ID:hpar9BDb(2/2) AAS
>>175
あれ？違ったか
岡の原理ってなんだっけ？
179: 2022/12/25(日)19:17 ID:laueymQR(1) AAS
岡の原理とは複素解析におけるホモトピー原理のことである. より厳密には, Stein 多様体 X に対して X 上のあるクラスの解析的対象と位相的対象 (例えば正則ベクトル束の正則切断と連続切断) を考えたときに包含写像
{ X 上の解析的対象 } ,→ { X 上の位相的対象 }
が弱同値になるということである. 標語的に「Stein 多様体上の解析的な問題には位相的な障害しかない」ことが岡の原理であるとも言うことができる. この原理は 1939 年の岡の第 III 論文 に端を発し, Grauert, Gromov, Forstneriˇc らによって岡多様体の理論へと発展した.
180(1): [sag] 2022/12/27(火)18:37 ID:DqiOvLqN(1/2) AAS
微分形式ｄｘから測度ｄｘが定まる
181: 2022/12/27(火)19:36 ID:VRfHkim5(1) AAS
無限次元では？
182(1): 2022/12/27(火)22:25 ID:DqiOvLqN(2/2) AAS
無限次元でも適当な条件のもと
微分形式DXから測度DXが定まる
183: 2022/12/27(火)23:15 ID:mb8Zr6YW(1) AAS
>>182
ソースは？
184(2): 2022/12/28(水)20:08 ID:nMJlPXtz(1) AAS
>>180
微分形式に条件が必要
185(1): 2022/12/29(木)09:27 ID:af4qdYBg(1) AAS
>>184
微分形式dxと言った時点でuniqueでは？
186: 2022/12/29(木)12:48 ID:bPC3Lvoh(1/2) AAS
>>185
1次元の話をしているのか？
1次元じゃ微分形式を使うメリットはない
高次元の多様体で初めて効果を発揮する
187(4): 2022/12/29(木)15:03 ID:bPC3Lvoh(2/2) AAS
>>2
> ω=dx∧dy + dy∧dz + dz∧dx これは何を表しているんだ？
この問いに誰も答えていない
188: 2022/12/29(木)16:05 ID:XpWEA4Gy(1) AAS
とりあえず3変数の非退化2次形式
189(2): 2022/12/29(木)18:35 ID:WKSV+QcM(1/2) AAS
微分形式はクリフォード代数から生まれる
クリフォード代数の特別な場合が微分形式
だから、測度もクリフォード代数が起源と言える
190(1): 2022/12/29(木)19:03 ID:rt/HU/FA(1) AAS
>>187
物理でなんか名前がついていたと思うが、忘れた
物理的には色々意味があるらしいが、数学では単なる2-形式としか見なされない
191(2): 2022/12/29(木)22:19 ID:/WNYC9KJ(1/3) AAS
>>189
でもクリフォード代数は次数付け(Z-grading)が出来ないから、
微分形式の理論をすべて含んでるわけでは無い
192: 2022/12/29(木)22:21 ID:/WNYC9KJ(2/3) AAS
クリフォード代数は±のZ_2-gradingしか出来ない
193(5): 2022/12/29(木)22:26 ID:WKSV+QcM(2/2) AAS
>>191
含んでるよ
194: 2022/12/29(木)23:15 ID:/WNYC9KJ(3/3) AAS
>>193
では、クリフォード代数にどの様にZ-gradingを入れるのか示してくれ
195(1): 2022/12/30(金)01:24 ID:E1yCPLOa(1/4) AAS
クリフォード代数も普通の微分形式の空間もものとしては2ⁿ次元ベクトル空間じゃないの？
代数束としての積の構造が違うだけで
逆にいうと積の構造が違うんだから外積代数はクリフォード代数の一部というのはちょっと誤解を生むな
クリフォード代数は交換関係にその空間の計量を使って積を定義する
なので底空間ぎ同じでも計量が違えば一般には代数束としては別の物ができる
計量として退化してる物も許して<ω,η>=0 (∀ω,η)をとったらその内積で作ったクリフォード代数は外積代数になる
だったような
196(1): 2022/12/30(金)02:05 ID:9pT5k1Z3(1/4) AAS
>>193>>195
理解が甘い
全体の空間が同型でも、次数まで込めて同型では無いから(DGAとしては同型でない)。
微分形式はZ-次数付け出来るが、クリフォード代数はZ_2-次数付けしか出来ない。
wikipedia
クリフォード代数
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.orgクリフォード代数
197(1): 2022/12/30(金)02:16 ID:E1yCPLOa(2/4) AAS
>>196
それ反交換関係入れなければでしょ？
当然ここでいう“微分形式”は反交換関係入れて2ⁿ次元の束の話でしょ？
大体そんな事言い出したら交換関係一切いれずに自由テンソル場でアルファベットn文字のワードでグレーディングされるクソでかい束でもできますがな
198(1): 2022/12/30(金)02:21 ID:E1yCPLOa(3/4) AAS
おっと撤回
グレーディングとして自然なのはせいぜいℤまでやな
ただし交換関係を入れても入れなくてもℤ gradeになるけどものは違うよな？
そんな話してなくね？
199: 2022/12/30(金)02:25 ID:9pT5k1Z3(2/4) AAS
>>197
クリフォード代数は、DGA(Differential graded Algebra)にならない。
当然、微分形式もクリフォード代数もどちらも積構造を考えている。
クリフォード代数の関係式で、2つのベクトルのクリフォード積がスカラーに落ちる(次数を保たない)のが原因。
これ以上は専門書を見てくれて。
200(1): 2022/12/30(金)02:27 ID:9pT5k1Z3(3/4) AAS
>>198
>>191はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。
201: 2022/12/30(金)02:29 ID:9pT5k1Z3(4/4) AAS
>>200
アンカーミス
正しくは
>>189>>193はお前じゃ無かったのか？
クリフォード代数が、微分形式も含んでいるというから、
それは違うと指摘したまで。
202(1): 2022/12/30(金)07:58 ID:E1yCPLOa(4/4) AAS
オレは>>193じゃないけど>>193の言うところの“含む”は「内積が0の場合にクリフォード代数は外積代数になる」つて話じゃないの？
203: 193 2022/12/30(金)17:54 ID:6rU2Z0TY(1) AAS
クリフォード代数は偉大だよ
やろうと思えば微分形式をすべて説明できる
けど、通常はそんなことしないだけのはなし
回りくどくてわかりにくくなるだけだから
204(1): 2022/12/31(土)11:44 ID:iWMdvYHx(1) AAS
>>190
ベクトル場の回転かな
回転っていっても静的な物で、流れの変化率だけど
205: 2022/12/31(土)11:51 ID:qHNAmLcY(1) AAS
>>204
底空間の各点に対する変化率ね
206(2): 2023/01/08(日)22:37 ID:+74BXUKJ(1) AAS
dxを無限小という人があるが本当か？
そもそも無限小って数学に必要かい？
207: 2023/01/09(月)01:00 ID:l/SgpgpA(1/2) AAS
そんなもんに正しいもクソもない
もちろん「無限小"infiniticimal"と見なすこともできる」と言う理論もある
しかしこのスレでも既出の“微分形式と解釈する”考えとは相容れない
じゃあ結局何を“デフォルト”とするのと言う話でしかない、もちろん現代数学の一般的な教程ではまずは“微分形式としての解釈を理解する”と言うのがまぁ大勢
208: 2023/01/09(月)07:28 ID:4JDol5oY(1) AAS
無限小というより
二度微分すると消えるランダウ記法とか
幾何学的双対的に余接空間とか
そっちのほうに力点おいた方がよくね？
209: 2023/01/09(月)10:51 ID:l/SgpgpA(2/2) AAS
こんな学部レベルの勉強の話は“俺様定義”じゃなくて、まず一般的な数学の教程で第一義に数えられるものから順に勉強してけばいいんだよ
無限小解析とかやりたいならやってもいいけど、それもこれもまずは普通に微分形式、微分幾何勉強し終わった後でやればいい
受験数学でよく出てくる“計算法”
d( sin(x³) ) = 3x²cos( x³ )dx
を単なる便法と考えるならそれで終わりでいいし、そこに何か意味を見出そうとするなら、まずは微分幾何やろ
もちろんそれが最も現代数学で応用の広い豊かな世界に繋がってるんだから
まぁ「俺様無人の荒野を行く」のがいいならそうすればいいけど
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