スレタイ箱入り無数目を語る部屋5

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋5 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

1: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 21:32:41.17 ID:4rX/NHRo

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる

前スレ スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/1

（参考）
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/1

2: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 21:33:17.96 ID:4rX/NHRo

つづき

mathoverflowは時枝類似で
・Denis質問でも、もともと”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”
　となっています。Denisの経歴を見ると、彼は欧州の研究所勤務で、other peopleは研究所の確率に詳しい人でしょう
・Pruss氏とHuynh氏とは、経歴を見ると、数学DRです。両者とも、このパズル（＝riddle）は、可測性が保証されていないと回答しています

http://www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
http://www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf?
Choice Games November 4, 2013
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.

Sergiu Hart氏は、ちゃんと”シャレ”が分かっている（関西人かもｗ）
Some nice puzzles Choice Games と、”おちゃらけ”であることを示している
かつ、”P2 Remark.”で当てられないと暗示している
また、”A similar result, but now without using the Axiom of Choice.GAME2”
で、選択公理なしで同じことが成り立つから、”選択公理”は、単なる目くらましってことも暗示している

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/2

6: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 21:35:27.01 ID:4rX/NHRo

つづき

前スレ （完全勝利宣言！ｗ）（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/767 (775の修正を追加済み)
>>701-702 補足説明
　>>760にも書いたが、
”　a)確率上、開けた箱と開けてない箱とは、扱いが違う”>>701
をベースに、時枝記事>>1のトリックを、うまく説明できると思う

１）いま、時枝記事のように>>702
　問題の列を100列に並べる
　1～100列 のいずれか、k列を選ぶ(1<=k<=100)
　k以外の列を開け、99列の決定番号の最大値をdmax99 とする
　k列は未開封なので、確率変数のままだ
　なので、k列の決定番号をXdkと書く
２）もし、Xdk<=dmax99 となれば、dmax99+1以降の箱を開けて
　k列の属する同値類を知り、代表列を知り、dmax99番目の箱の数を参照して
　その値を問題のk列の箱の数とすれば、勝てる
（∵決定番号の定義より、dmax99番目の箱は、問題のk列とその代表とで一致しているから）
３）しかし、決定番号は、
　自然数N同様に非正則分布>>13だから、これは言えない
　つまり、確率はP(Xdk<=dmax99)=0 とすべきだ
（非正則分布なので、上限なく発散しているので、dmax99<=Xdk となる場合が殆ど）
４）もし、決定番号が、[0,M]（Mは有限の正整数）の一様分布ならば
　dmax99が分かれば、例えば、
　0<=dmax99<=M/2 ならば、勝つ確率は1/2以下
　M/2<=dmax99<=M ならば、勝つ確率は1/2以上
　と推察できて
　それを繰り返せば、大数の法則>>702で、P(Xdk<=dmax99)=99/100が言えるだろう
（注：dmax99は、100列中の99列の最大値なので、P(Xdk<=dmax99)=99/100が正しいだろう）
　しかし、非正則分布では、このような大数の法則は適用できない
５）人は無意識に、決定番号も正則分布のように錯覚して、トリックに嵌まるのです
　しかし、非正則分布では、大数の法則も使えない
　結局、時枝記事の99/100は、だましのトリックってことです

テンプレは以上です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/6

18: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:22:33.05 ID:4rX/NHRo

>>17

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/237
>>236
つづき

最後に気を付けるべき点は、ユークリッド空間は技術的にはベクトル空間ではなくて、（ベクトル空間が作用する）アフィン空間と考えなければいけないことである。直観的には、この差異はユークリッド空間には原点の位置を標準的に決めることはできない（平行移動でどこへでも動かせるため）ことをいうものである。大抵の場合においては、この差異を無視してもそれほど問題を生じることはないであろう。

厳密な定義
いったん直交座標系が固定されると、n-次元ユークリッド空間 (S, V) は n-次元の標準的ユークリッド空間 (Rn, Rn) と同一視することができるので、ユークリッド空間といったら標準的ユークリッド空間のことを指す場合も多い。

なお、n-次元ユークリッド空間の定義において、「実内積空間」を「実ベクトル空間」に置き換えて得られる空間を n-次元アフィン空間と呼ぶ。ユークリッド空間は計量（内積）をもった特別なアフィン空間であるということができる。計量をもたないアフィン空間においては、二点間の距離や線分のなす角などは定義されないが、ユークリッド空間においてはこれらの概念を以下に述べる仕方で定義することができる。

現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば Rn とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で En と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。

https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_space
Euclidean space

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/18

19: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:23:24.82 ID:4rX/NHRo

>>18

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/238
>>>237
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)
基底 (線型代数学)

任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。

順序基底と座標系
V は体 F 上の n-次元ベクトル空間であるものとする。V の順序基底を一つ選ぶことは、数ベクトル空間 Fn （座標全体のなすベクトル空間と考えられる）から V への線型同型写像 φ を一つ選ぶことと等価である。これを見るのに Fn の標準基底が順序基底であることが利用できる。

ベクトル v を各成分 aj(v) へ写す各写像は、φ-1 が線型ゆえ、V から F への線型写像になる。即ちこれらは線型汎函数であり、またこれらは V の双対空間の基底を成し、双対基底と呼ばれる。

関連概念
解析学
無限次元の実または複素線型空間に関する文脈では、本項でいう意味での基底を表すのに、しばしばハメル基底（ゲオルク・ハメルに由来[12]）や代数基底という用語が用いられる。（ハメル基底は R の Q-基底を意味することもある。）これは、付加的な構造を備えた無限次元線型空間における別の種類の「基底」の概念との区別のためである。そのような基底の概念で極めて重要なものとしては、ヒルベルト空間上の正規直交基底やノルム線型空間上のシャウダー基底およびマルクシェヴィチ基底が挙げられる。

これらの基底概念に共通する特徴は、全体空間を生成するのに基底ベクトルの無限線型結合までを許すことである。これにはもちろん、無限和が意味を持つような空間（位相線型空間）を考えることが必要である。位相線型空間は非常に広範なベクトル空間のクラスであり、例えばヒルベルト空間やバナッハ空間あるいはフレシェ空間といったものを含む。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/19

23: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:28:39.00 ID:4rX/NHRo

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/32
まとめよう
後の都合で、前スレから都築暢夫先生、梅谷武氏、柳田伸太郎先生をも、再録する

前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/459
多項式環 F[x]：任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築 暢夫 広島大）
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/tsuzuki-j.html
2006年度 代数学1:講義ノート
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学 I (第2回) 都築 暢夫 広島大 4 月 21 日
P2
例 1.4. 多項式環 F[x]. F 係数多項式全体の集合 F[x] は F 線形空間になる。さらに、
F[x] は可換環 (「代数学 A」で登場する加減乗を持つ代数系で、体の定義で (9) を外し
たもの) になる。
P3
例 3.2. 多項式環 F[x]. F[x]n は 1, x, ・ ・ ・ , x^n を基底に持つ n + 1 次元線形空間である。
F 線形空間 F[x] は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。
証明. 略
(引用終り)

＜補足説明＞
1）
・形式的冪級数環R[[X]]と、多項式環R[X]との関係
　R ⊂ R[X] ⊂ R[[X]]で、R[[X]]はR[X]より真に大きい集合である
（ここらは、なかなか理解が難しいが。分からない人は専門書に当たって下さい）
https://pisan-dub.jp/doc/2011/20110114001/3_2.html
一変数多項式と形式的冪級数
著者:梅谷 武 2021-03-17
R上の形式的冪級数環をR[[X]]、多項式環をR[X]と書きます。このときR ⊂ R[X] ⊂ R[[X]]という包含関係があります。また、{ Xi | i ∈Ｎ }はR[X]の基底であり、したがってR[X]はR-自由加群になっています。

つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/23

25: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:29:28.14 ID:4rX/NHRo

>>23

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/33
つづく

前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/601
P164から問題の解答がある。親切だね

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/index-j.html
柳田伸太郎 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/2022B1.html
2022年度春学期 現代数学基礎BI
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/22S/2022BI.pdf
2022年度 現代数学基礎BI 講義ノート
担当: 柳田 伸太郎
ver. 2022.07.27
Ｐ36
問題 2.2.9. 例 1.3.7 で扱った多項式空間 K[x], 例 1.3.8 で扱った形式的冪級数の空間 K[[x]], 問題 1.3.4 で
扱った Laurent 多項式の空間 K[x^±1], 問題 1.3.6 で扱った Laurent 級数の空間 K[x^-1, x]], 問題 1.3.7 で扱った形式的 Laurent 級数の空間 K[[x^±1]] を思い出す.
(1) 以下の部分空間の列がある事を示せ.
　K[x] ⊂ K[[x]] ⊂ K[x^-1, x]] ⊂ K[[x^±1]], K[x] ⊂ K[x^±1] ⊂ K[x^-1, x]] ⊂ K[[x^±1]].
(2) K[[x]] ∩ K[x^±1] と K[[x]] + K[x^±1] を求め, それぞれが K[[x^±1]] の部分空間である事を確かめよ.

P38
例 2.3.5. 形式的冪級数の空間 K[[x]] (例 1.3.8) から I = N を添字集合とする直積 K^N =Πi∈N K への写像
ψ: K[[x]] -→ K^N,　Σi=0～∞ fix^i -→ (fi)i∈N
は同型写像 (証明は問題 2.3.2). 例 1.3.3 より K^N は数列空間だから, 形式的冪級数の空間 K[[x]] と数列空間
K^N は同じ線形空間と見なせる事が分かる.

P58
多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元.

P106
問題 8.1.6. 多項式空間 K[x] の双対空間は形式的冪級数の空間 K[[x]] と同型である事を示せ。

つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/25

26: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:30:34.86 ID:4rX/NHRo

>>25

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/34
つづく

前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/705
もう既に書いたことだが
１）可算無限列 a0,a1,a2,・・an,・・を
　形式的冪級数τ＝a0+a1x+a2x^2+・・+anx^n+・・に写して考えることができる（>>601 柳田伸太郎 名大 ）
２）しっぽの同値類は、同じ同値類に属する形式的冪級数τ1,τ2で差を作ると
　f(x)＝τ1-τ2 と多項式になる（等しいしっぽの項の部分が消える）
　逆に、τ1＝τ2+f(x)と書ける。つまり、同じ同値類に属する形式的冪級数は、τ2と多項式f(x) の和に書ける
　このことから、一つの同値類全体は、あるτ＋K[x] と書ける（K[x] は多項式環>>601で、 "τ＋K[x]"の+は、記号の濫用）
３）決定番号は、多項式f(x)の次数nのとき、n+1となる
　（つまり、n+1以降が共通のしっぽ部分になる）
４）形式的冪級数環の空間 K[[x]]>>601と多項式環K[x] との関係は
　多項式環K[x]を完備化すると K[[x]]になると考えることができる >>624 >>486-487
　（ちょうど、有限小数環を完備化すると、無限小数たる超越数等を含む実数の集合になるのと同じ）>>624>>629
５）多項式環K[x]の中で、コーシー列が形成できて、それが例えば超越関数τに収束する。が、τには到達しない（寸止め状態（皮一枚残り））>>681
　それは、可能無限状態で、いくらでも超越関数τに近い多項式が作れるってこと
６）これを、同値類のしっぽの視点で考えると、
　いくらでも しっぽを小さくできて、しっぽを無限小にできるということ（本来はこちら）>>681
７）だから、時枝記事のように、
　同値類のしっぽが無限大の大きさであることを前提とした確率99/100の議論は、前提が間違っているってこと
　つまり、”時枝記事の「99/100以上」という勝率”が、根本から間違っているってこと

つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/26

28: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:32:41.95 ID:4rX/NHRo

>>26
＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/47
>>34 補足

(>>32-34より)
可算無限列 a0,a1,a2,・・an,・・
　↓↑
形式的冪級数τ＝a0+a1x+a2x^2+・・+anx^n+・・
　↓↑
多項式 fn(x)＝b0+b1x+b2x^2+・・+bnx^n があって
しっぽが一致する同値類の二つの形式的冪級数τ、τ’の差
（τ’＝a'0+a'1x+a'2x^2+・・+a'nx^n+・・）
fn(x)＝τ-τ’=(a0-a'0)+(a1-a'1)x+(a2-a'2)x^2+・・+(an-a'n)x^n
b0=a0-a'0,b1=a1-a'1,b2=a2-a'2,・・,bn=an-a'n
つまり、τ＝τ’+fn(x)
（補足：しっぽが一致するから、差τ-τ’でしっぽが消える
　n+1次以降が一致すると、τ-τ’からn次多項式fn(x)が出る
　逆、同値類はτ’+fn(x)と書ける。fn(x)は、多項式環の任意の要素とできる ）
　↓↑
多項式空間 K[x] や形式的冪級数の空間 K[[x]] は無限次元 F線形空間 >>32都築暢夫 >>33柳田伸太郎
(なお、n次多項式 fn(x)←→決定番号n+1 の関係があるよ)

さて、
3次元ユークリッド空間内で、2次元図形の体積は0
4次元ユークリッド空間内で、3次元図形の超体積は0
　・
　・
n次元ユークリッド空間内で、n-1次元図形の超体積は0
　・
　・

さてさて、
多項式環は無限次元 F線形空間だ

そこから、100個のベクトルを選ぶ？
100個の次元が、d1,・・,d100が全部有限次元？
というか、ある有限ｍ（ｍ＞max(d1,・・,d100)）が存在して、
d1,・・,d100たちは、有限ｍ空間内だぁ？

だけど、無限次元空間から見て、有限ｍ空間の超体積は0だ！
つまり、条件確率で、d1,・・,d100を使って得た99/100は、
超体積は0内の話で、全体としては確率は0ですよ！ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/28

32: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:38:09.46 ID:4rX/NHRo

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/220
>改めて懐疑派・否定派に>>101を問う

１）反例が存在するよ
２）>>104に書いたが、現代数学の確率論では
　可算無限個の確率変数族 X1,・・,Xn ,・・
　を扱うことができる
３）サイコロの目を箱に入れると、
　その確率は
　∀i｜i∈N P(Xi)＝1/6
　となる
４）例外は無い！
　確率99/100などには決して成りません！ｗ
５）反例が、現代数学の確率論内に存在するので
　>>101は不成立ですよ
６）実際、下記 服部哲弥 慶応 にあるように
　”無限個の独立確率変数を考えるということは無限次元空間上の関数を考えていることになる”
　ってこと
　ある箱1つを残して、他の箱を開けても、独立だから、その１つの箱を的中する助けにはならない！！
　（分からない人は、服部哲弥を百回音読してねｗ）
７）だから、あとは、時枝の謎解きです
　決定番号は、多項式環の多項式の次数+1と解せられる>>161
　時枝 >>1 でダメなのは、決定番号が非正則分布>>28になっていること
　そこが、時枝記事のトリックのキモです

(参考)
https://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/probab.pdf
確率論 服部哲弥 20110909 慶応
Ｐ7
発展：「無限次元空間」に値をとる確率変数
この講義では当分の間 Rd 値確率変数（d 次元実確
率変数）とその極限定理（期待値などをとってから d → ∞ としたもの）しか出てこないが，値域と
して無限次元 (‘d = ∞’) も非常に重要である．

そういう数列の集合上の関数として X をと
らえることができると，数列（無限個の実数，即ち無限次元空間）上の確率論（測度論）が展開でき
ることになる．このようなことは実現可能であり，今日の確率論の中心的研究分野である．しかも，
パラメータ（添字）n は連続変数にすることもできる．

Ｐ39
無限個の独立確率変数を考えるということは無限次元空間上の関数を考えていることになる．無
限次元空間の上の解析は 20 世紀以降の重要な研究課題なので，無限個の確率変数の解析は重要であ
る．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/32

35: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:44:48.80 ID:4rX/NHRo

>>34
＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/730
>>727
>>>715
>>>603で
>>>時枝戦略の確率空間に非可測集合は現れない
>>ここだけ同意
>と言ったのはあなたでしょ？昨日自分で言ったこともう忘れたの？あなたは白痴ですか？

補足するよ
１）>>603で言ったのは、時枝氏の記事の https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/404
　「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
　その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
　ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
　を否定しているってことね
　つまり、代表は100個しか使わない。ヴィタリ集合のように、代表を非可算個使えばともかく
　有限個の代表使用だけでは、ヴィタリ類似の非可測集合を使っているとは言えないということ
２）一方で、R^N自身にルベーグ測度が入らないという （会田茂樹 2007>>564, 藤田博司>>556）
　だから、このままでは、R^N上の関数もルベーグ可測関数にはならないのは明白
　会田茂樹氏 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/3/64_0643278/_pdf/-char/ja
　では、”無限次元空間では
　考えている空間上の仮想的な “一様測度” (“ルベーグ測度”) dφ に収束因子のかかった形式的な表現
　dμh- = (1/Zh-) exp-h--1F(φ)dφ (Zh- は規格化定数，F(φ) は考えている空間上の汎関数) を持つ
　ウエイト付き確率測度 (これは厳密に定義できる) をもとに定式化され”
　とあるから読んでみたら？
　ともかく、時枝記事では、ルベーグ測度や（ルベーグ）積分は、そのままでは使えないってことこと
　それが>>715の主張だよ
３）両者(>>603と>>715と)は、数学的主張として別物ですよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/35

36: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:46:20.19 ID:4rX/NHRo

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/603
>>560
>時枝戦略の確率空間に非可測集合は現れない

ここだけ同意
「非可測集合は現れない」というより
「非可測集合は現れても、結果には影響しない」が正確な表現だろう

>>556より
http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司
このＰ5 従属選択の公理 (Axiom of Dependent Choice, DC),より
DC とは, 極大要素を持たない二項関係は無限上昇鎖をもつ, という主張です. あきらかに, 選択公
理 AC は DC を導きます. 逆に DC から AC を導くことができないことは, 定理 1 によって明らかです*6.
DC はルベーグ可測でない集合の存在を導くほどには強くないのです.
そのいっぽうで, 測度の理論に必要となる, 可算個の集合からの同時選択 (可算選択の公理) は DC によっ
て保証されます. また, 第 3 節で展開されるボレル集合のコードの理論には, 可算選択の公理だけでは不十分
で, 本当に DC が必要です. その理由は, DC が整礎的二項関係のとりあつかいを簡単にする点にあります.
(引用終り)

１）従属選択公理DCは、可算選択公理を含み、それよりも強い。しかし、非可測集合を作ることはできない（下記）
２）いま、非可算の完全代表系を弱めて、可算無限個の代表系を選んだとしよう
　そして、時枝の100個の代表が、この可算の代表系に含まれていたとする
　この場合、時枝で使うのは、100個の代表のみだから、問題なく時枝のトリックは進行する
３）もちろん、選択公理を使って、完全代表系を使っても良いが
　重要なのは、これと上記２）とで、全く同じ結果が導かれることだ
４）上記２）の場合は、非可測集合は経由していない
５）つまり、使うのは100個（たかだか有限個）であり
　非可測集合を経由しようが、あるいは経由しなくても
　両者の結果は、同じ！
６）よって、「非可測集合は現れても、結果には影響しない」

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/36

38: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:49:52.87 ID:4rX/NHRo

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/556
>>553
分かってないね
こういうのは、問題を対数 log に変換すれば良いんだよ

えーと、こうだった
　>>515-516より 引用開始
http://www.math.sci.ehime-u.ac.jp/~fujita/preprints/lss07_fujita_release.pdf
ルベーグ可測性にかんするソロヴェイのモデル 藤田 博司
ここでP2より
1.1 ボレル集合とその測度
まず n 次元ユークリッド空間 R
n の部分集合 I で n 個の開区間の直積の形
I = (a1, b1) × (a2, b2) × ・ ・ ・ × (an, bn)
になっているものを, 開矩形 (open rectangle) と呼びます. 矩形の測度は
mes(I) = (b1 - a1) × (b2 - a2) × ・ ・ ・ × (bn - an)
によって定めるのが妥当でしょう.

上記は、有限次のn 次元ユークリッド空間 Rの測度で
矩形の測度を定めている
これで、n→∞を考えると
１）もし、全て(bn - an)> 1 ならば、mes(I) →∞に発散する
２）一方、全て(bn - an)< 1 ならば、mes(I) →0に潰れる
(引用終り)

１）これで
　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～n log(bi - ai)と書ける
　n→∞を考えると
　log{mes(I)} ＝ Σ i=1～∞ log(bi - ai)
２）ここで、あるm, log|(bm - am) から先が、早く減衰すると
　総和Σは、発散せずにある値に収束する
３）その値を、sとでもしますかね
　これで、mes(I)＝e^s となる
４）減衰の早さの条件は、
　積分∫x=1～∞ 1/x が発散することを参考にして
　1/xより早く減衰ってことね（正確に書くのが面倒なので、これでお茶を濁しをしますｗ）
５）だから、無限次元ユークリッド空間全体を扱わずに
　こういう扱い易い部分だけを扱うのもありかも
　これの類似が、ヒルベルト空間で、
　Σ(ai)^2 が収束する部分に限定して扱う
　これで十分関数解析などができるらしい
６）でも、有限次元ユークリッド空間でのルベーグ測度は
　そのままでは、
　無限次元ユークリッド空間全体に拡張しても面白くないってこと
（>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことだよ）>>526

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/38

39: １３２人目の素数さん [] 2022/11/06(日) 22:53:08.77 ID:4rX/NHRo

＜前スレより関連コピー＞
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/564
>>556 補足
> ２）ここで、あるm, log (bm - am) から先が、早く減衰すると
>　総和Σは、発散せずにある値に収束する

１）いま、簡単に cm＝bm - am と書き直すと
　log cm から先が、早く0に減衰するということは
　cm→1 ってことです（ log cm→0になる ）
２）つまり、座標で
　(c1,c2,・・cm,・・)として
　ここで cm,・・の部分が、
　ほとんどが1、またはcm≒1かつlog cm が1/xより早く減衰する必要あり
　ってことです
３）上記のような部分だけが、
　有限次元のユークリッド空間におけるルベーグ測度の拡張がうまく機能する
４）しかし、それ以外では
　・例えば、0＜cm＜1-ε の場合は、ルベーグ測度は0に潰れ
　・例えば、1+ε＜cm の場合は、ルベーグ測度は∞に発散してしまう
　（εは、0＜ε なる任意の実数）
５）なので、
　>>523 藤田 博司 ”無限次元のバナッハ空間では・・ルベーグ測度に相当する具合のいい測度も存在しないので・・”ってことでしょうね
（なお、追加 下記 会田茂樹先生の記述も ご参照）

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/64/3/64_0643278/_pdf/-char/ja
数学 2012 Volume 64 Issue 3 P278
無限次元空間上のシュレディンガー作用素の準古典極限 会田茂樹 2007 年度解析学賞受賞者

無限次元空間にはルベーグ測度のような一様測度は存在しないので，
有限次元空間のときと同じようには作用素を定義できない．
無限次元空間では
考えている空間上の仮想的な “一様測度” (“ルベーグ測度”) dφ に収束因子のかかった形式的な表現
dμh- = (1/Zh-) exp-h--1F(φ)dφ (Zh- は規格化定数，F(φ) は考えている空間上の汎関数) を持つ
ウエイト付き確率測度 (これは厳密に定義できる) をもとに定式化され，この形式的な表示を用いて漸
近挙動が予測できることになる．これは，あくまで形式的な表示だが，有限次元では，もちろんきちん
とした意味を持ち，このウエイト付き測度に関するディリクレ形式の生成作用素のスペクトルギャッ
プの h- → 0 での漸近挙動の研究は多くの確率論研究者，解析学者によってなされてきたものである

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1667737961/39

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 3.057s*