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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 (1002レス)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋4 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/
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431: 132人目の素数さん [] 2022/10/31(月) 23:57:37.03 ID:vpuiD3x9 >>402 >今の段階で、μ_N^*(A) ≦∫_{ [0,1]^N } 1_B(x,y) dμ_N(y) が x∈[0,1) に対して言えている。 >両辺を通常の1次元ルベーグ測度空間 ([0,1],F_1,μ_1) において x∈[0,1) で積分する。 >すると、左辺は μ_N^*(A) のままであり、右辺はフビニの定理が使えて、 意味わからんけど 1)そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える 2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・ なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね(∵ 0<a<1 ) 2)一方で、無限次ベクトル (a,a,・・,a,・・)を考えると このベクトルの長さLは、通常の成分の2乗を開平だとして L=√(Σn=1~∞ a^2)→∞ (∵ a≠0 )つまり発散するよ 3)だから、[0,1]^Nの空間に計量を入れて扱おうとするならば、 通常の1次元ルベーグ測度 [0,1] とは、違う測度にしないと、どうにもならん気がするけど? だからのヒルベルト空間でしょ? (最初から、ベクトルの長さが定義できる素性の良いところに限定するんだよ) 4)そもそも、下記ヴィタリ集合の非可測性は、 実数Rに与えられたルベーグ測度をベースに論じて その上で非可測性を示すよね 5)だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、 どういう測度を与えるのか? そこをしっかりしないと、上滑りの”可測、非可測”の議論になるよ (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 可測集合 集合には '長さ' や '重さ' が定まるものがある。例えば、区間 [0, 1]は長さ1を持つと思われる。 重さに最も近い一般化はσ-加法性を持つルベーグ測度である。 構成と証明 これは不可能である。一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。すなわち V は可測ではない。つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義できない[3][4]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/431
436: 132人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:23:04.71 ID:sIOgpcGr >>431 さすがにレベルが低すぎて話にならないね。何がヒルベルト空間だよ。確率空間だと言ってるだろ。 まず、今回の記法では、([0,1],F_1,μ_1) を通常のルベーグ測度空間と置いている。 μ_1([0,1])=1 なので、この測度空間は確率空間になっている。 そこで、この確率空間の可算無限直積 確率空間を ([0,1]^N, F_N, μ_N ) と置いている。 これは確率空間である。ヒルベルト空間ではない。 [0,1]^N にどんな測度が入っているのかも明らか。μ_N である。μ_N という測度が入っている。 これは確率論の基礎の範囲。 >1)そもそも、[0,1]^Nで、1辺a 0<a<1 の超立体の体積を考える >2次元ならa^2,3次元ならa^3,・・,n次元ならa^n,・・・ >なので、n→∞のとき 常にa^n→0だよね(∵ 0<a<1 ) 実際、0<a<1 に対して [0,a]^N ∈F_N が成り立ち、なおかつ μ_N([0,a]^N)=0 である。 しかし、μ_N([0,1]^N)=1 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/436
437: 132人目の素数さん [sage] 2022/11/01(火) 00:28:10.93 ID:sIOgpcGr >>431 >5)だから、無限次元の[0,1]^Nに対して、どういう測度を与えるのか? 何度も言わせるな。μ_N である。[0,1]^N にはμ_N という測度が入っている。 では、μ_N はどこから来たのか? 何度も言うとおり、([0,1],F_1,μ_1)という確率空間を可算無限個用意して、 その積を取ったときの可算無限直積 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N ) を考え、 ここで出現した μ_N を [0,1]^N 上の測度として採用している。というより、 ・ 確率空間 ([0,1]^N, F_N, μ_N) と書いた時点で、既に μ_N が [0,1]^N 上の測度として自動的に採用されている。 つまり、μ_N という測度が出現するのは 「可算無限直積 確率空間」という操作を施したタイミングである。 そこで初めて μ_N という測度が出現し、それが [0,1]^N 上の測度として採用される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/437
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