スレタイ箱入り無数目を語る部屋3

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1: １３２人目の素数さん [] 2022/08/13(土) 16:51:12.04 ID:d42KNd2H

前スレが1000近くなったので、新スレを立てる

前スレ 箱入り無数目を語る部屋2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/

（参考）
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事） 「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/1

91: １３２人目の素数さん [] 2022/08/27(土) 18:52:36.60 ID:zyqPAIcH

>>88
>回答者のつもりでしたが、確かに回答者の存在を消しても
>「箱を開けなくても中身が代表系と一致する確率が99/100の箱が存在する」
>という形のステートメントは成立しますね。
>これは選択公理だけで成立しますね。

選択公理だけで成立しません
1）現代数学の一般論として、確率計算を成立させるためには、コルモゴロフの確率公理を必要とする https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86 コルモゴロフの公理
　選択公理だけでは、不十分です
2）自然数全体の分布は、各数字に有限の同じ存在確率μを与えると、n→∞でnμ→∞ と発散する
　つまり、自然数全体の一様分布を考えると、全体は発散し、非正則分布になり、コルモゴロフの公理に反します >>51
3）簡単に2列XとYで考える。決定番号をdx,dy とする。P（dx>dy）=1/2 が直感的には成り立ちそうだが、証明がない
　もっと言えば、非正則分布を経由しているので、コルモゴロフの公理を破っているから、P（dx>dy）=1/2には数学的な証明がない状態で、議論している
4）そして、実際 時枝記事は、証明のないP（dx>dy）=1/2 を使って、列Xから決定番号D（有限）を得て
　P（D>dy）=1/2 にすり替えている。しかし、dyは上限のない非正則分布だから、P（D>dy）=1/2は矛盾。つまり、P（dx>dy）=1/2も矛盾だってこと
5）この議論は、2016/07/03時点ですでに過去スレで行われている
　現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20 https://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/519-529
　なお、類似の議論が、>>1 https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
　Answer14 answered Dec 11, 2013 at 21:07 Alexander Pruss P(X<=Y)に関する議論
　及び Answer2 answered Dec 9, 2013 at 17:37 ”Here's a concrete choice for a probability space that shows that your proposal will fail.”、”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.”とある点
　ご参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/91

209: １３２人目の素数さん [] 2022/09/11(日) 08:37:11.94 ID:cFRF8/nb

>>208 つづき

１）前レスで、ランダムサンプリングができない非正則な分布>>51について説明した
　この場合、できるのは作為によるサンプリング（有意抽出>>196）のみ
２）これを時枝記事>>1に見ると、人は自然に ”決定番号∈自然数N”だからと
　直感的に100個の数 d1<d2<d3<・・・<d100 を思う（>>162）
　そして、d1,d2,d3,・・・,d100から、作為でこれらに対応する代表元を思い浮かべる
　が、これが作為だという自覚が無い人が大半だ（大学レベルの確率論や確率過程論を習得した人以外では）
３）代表元は、ユークリッド空間の点と考えることができる(>>195)
　また、代表元の集合は、多項式環と見ることが出来て（>>189-190）
　多項式環は、無限次元空間だ(>>190)
４）だから、d1<d2<d3<・・・<d100 を、常にd100 +1次元のユークリッド空間に埋め込むことが出来て
　d100 +1次元のユークリッド空間の超体積V''中では0に潰れているということが分かる>>196
５）d1<d2<d3<・・・<d100から、99個の数を選びその最大値をDmax99としよう>>43
　時枝記事に従って、Dmax99+1番目までの箱を開ける（下記の数学セミナー記事ご参照）
　このとき、二つのことが起きる
　a)問題の列と代表列の比較で、一致部分は既に終わっていて、Dmax99+1番目の箱の数は一致しない！（問題の列の決定番号＞Dmax99+1）
　b)問題の列と代表列の比較で、一致部分はまだ終わっておらず、Dmax99+1番目の箱の数まで一致（問題の列の決定番号＜＝Dmax99+1）
６）上記b)の場合、Dmax99+1番目の箱の数まで、無限の箱の数が一致するのだから、その確率は0だ
　これはちょうど、上記４）項の「超体積V''中では0に潰れている」と整合する
　つまり、b)のケースが起こるのは、作為によるときのみです
　よって、99/100はイカサマ確率です

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/209

213: １３２人目の素数さん [] 2022/09/11(日) 13:11:10.73 ID:cFRF8/nb

>>209 補足

よく知られているが
１）選択公理だけでは、確率計算はできない
　一般論として、確率計算は測度論をベースとしたコルモゴロフの確率公理を必要とする>>91
２）同様の議論を、時枝氏自身が出している
　「結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.」と（下記）
３）また mathoverflow>>1で
　・質問者 Denis氏は、”but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.”と記す
　・回答者 DR Pruss氏は、”But we have no reason to think the event of guessing correctly is measurable with respect to the probability measure induced by the random choice of sequence and index i, and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate."と記す
　・回答者 DR Huynh氏は、”If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.”と記す
４）過去スレで、ある人が（>>126）https://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/519-532
　”それの証明ってあるかな？”、”おれが問題視してるのはの可測性”
　”非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな”
　”むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
　直感的にも妥当だろう”と記す
５）よって、時枝記事は可測性が保証されず、その確率計算に可測性の裏付けがない
　という疑問が、多くの人から出されている
　選択公理だけでは、可測性は保証されない

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/404
時枝問題
さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/～ の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/～ の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/213

576: １３２人目の素数さん [] 2022/10/07(金) 08:03:07.10 ID:JooN1fem

>>560 補足
>時枝記事が正しければ、
>無限のランダムウォーク中にひとつ
>ランダムウォークのしっぽ同値類を使って、確率99/100で的中できる
>というアホな話になるｗ

まあ、現代確率論、確率過程論で
時枝記事がデタラメということは、すぐ分かる
だが、時枝記事の謎解きは別だ

時枝記事の謎解きは、
可算無限数列（実無限）>>1
　↓
形式的冪級数（環）>>168
　↓
しっぽの同値類＝多項式（環）>>169（可能無限）>>472
　↓
可能無限から反例構成できる
という流れで説明できるだろう

つまり
１）形式的冪級数環で、その級数のしっぽの同値類を考える
２）同じ同値類の二つの元の差を取ると、しっぽの部分が消えて、多項式になる
　具体的には、二つの元を下記とする
　τa＝a0+a1x+a2x^2・・+anx^n+an+1x^n+1 ・・
　τb＝b0+b1x+b2x^2・・+bnx^n+an+1x^n+1 ・・(つまり、n+1項以上のしっぽ部分が一致)
　f(x)＝τa-τb で n次多項式になる（式の計算はスペースの都合で略す）
３）逆に、一つの形式的冪級数τに対して、
　その同値類の元は、τ+f(x) と書ける
（τの例としては、超越関数の原点x=0での級数展開をイメージして貰えば分かり易いだろう）
４）いま、出題された数列から、τ+f(x) が構成できたとしょう
　そして、この同値類における代表を、τ+fd(x)としよう
５）時枝の記事>>1は、ある大きな次数（自然数）mを取れば、
　m以上の項は、同値類でしっぽの共通部分に当たるから、
　代表のτ+fd(x)を見れば、問題のτ+f(x) の共通のしっぽの部分も推察がつくというものだ>>1
６）時枝記事は、99個の列を作って、それらの決定番号の最大値 Dmax99 を得て
　それを上記mとして利用しようというもの
　それで、確率99/100を得るという
　（決定番号の説明は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402 ご参照）
　（確率99/100は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403 ご参照）
７）しかし、多項式環は、無限次元線形空間（>>189 都築 暢夫 広島大）であるから
　原理的に、有限の Dmax99 を与えても、確率99/100と出来ないことは自明だろう

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/576

584: １３２人目の素数さん [] 2022/10/07(金) 23:04:10.05 ID:JooN1fem

>>576 補足
(引用開始)
５）時枝の記事>>1は、ある大きな次数（自然数）mを取れば、
　m以上の項は、同値類でしっぽの共通部分に当たるから、
　代表のτ+fd(x)を見れば、問題のτ+f(x) の共通のしっぽの部分も推察がつくというものだ>>1
６）時枝記事は、99個の列を作って、それらの決定番号の最大値 Dmax99 を得て
　それを上記mとして利用しようというもの
　それで、確率99/100を得るという
　（決定番号の説明は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/402 ご参照）
　（確率99/100は https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/403 ご参照）
７）しかし、多項式環は、無限次元線形空間（>>189 都築 暢夫 広島大）であるから
　原理的に、有限の Dmax99 を与えても、確率99/100と出来ないことは自明だろう
(引用終り)

理解できない人たちがいるみたいｗ

１．いま、1000人の模擬試験をして、1000点満点で990点だった
　　平均点500点、標準偏差100点、ほぼ正規分布
　　このとき、990点は偏差値で99で、点数の勝負なら99％以上の確率で勝てる
２．しかし、同じ990点でも、10000点満点で、平均点5000点ならどうか？
　　990点は平均値以下だから、点数勝負で99％の勝率は得られない
３．そして、時枝記事では、非正則分布で上限に制限なし！
　　平均値も無限大に発散している
　　そのような場合には、Dmax99をいくら大きくとっても
　　勝率99/100と出来ないことは自明だろう

(参考)
https://mathwords.net/sigumakukan
具体例で学ぶ数学
1σ、2σ、3σの意味と正規分布の場合の確率
具体例で学ぶ数学 > 確率、データ処理 > 1σ、2σ、3σの意味と正規分布の場合の確率
最終更新日 2019/02/14
1σ 区間におさまる確率→ 約 68%
2σ 区間におさまる確率→ 約 95%
3σ 区間におさまる確率→ 約 99.7%

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/584

869: １３２人目の素数さん [] 2022/10/20(木) 18:05:16.42 ID:T5rDkYGh

>>857-858 補足

１）時枝氏の記事の原理は、>>1
　可算無限の数列のしっぽの同値類で
　問題の数列と、代表の数列との比較で、
　ある（箱の）番号から、先のしっぽが一致する決定番号なるものを用いるもの
２）つまり、決定番号dが何らかの手段で分かれば
　代表の数列は既知だから、
　問題の数列のd+1以降のしっぽの数列(共通部分)を知って、
　問題の数列の属する同値類を知り、代表の数列を知り
　d番目の箱の数は共通だから、
　”代表の数列d番目＝問題の数列d番目”となり
　問題の数列d番目が、箱を開けずに的中できるという
３）問題は、”決定番号dか、あるいはd以上の数を得る何らかの手段があるか無いか”であり
　決定番号dは、非正則分布>>51を成すから、上記の手段は”原理的に無い”のです！>>75

４）しかし、それをゴマカすために、時枝記事は、参照列を使う
　つまり、問題と別に可算無限の数列を作り、同様に決定番号d'を得る
　そして、「d＜d'の確率が1/2だ」と叫ぶｗ>>1
　上記２）項同様に、問題の数列のd'+1以降のしっぽの数列を知って
　問題の数列の属する同値類を知り、代表の数列から
　d'番目の箱の数は共通だから、
　”代表の数列d'番目＝問題の数列d'番目”として
　問題の数列d番目が、箱を開けずに確率1/2で的中できるという
５）さらに、時枝記事は、参照列を増やす
　つまり、問題と別に可算無限の数列を99作り、決定番号の最大値dmax99を得る
　そして、「d＜dmax99の確率が99/100だ」と叫ぶ
　上記２）項同様に、問題の数列のdmax99+1以降のしっぽの数列を知って
　問題の数列の属する同値類を知り、代表の数列から
　dmax99番目の箱の数は共通だから、
　”代表の数列dmax99番目＝問題の数列dmax99番目”となり
　問題の数列dmax99番目が、確率99/100で、箱を開けずに的中できるという>>1
　（さらに、99以上の任意のｎ個の参照列を使うのも可能という）
６）しかし、上記３）項で述べたように、
　決定番号dは、非正則分布を成すから、上記の手段は原理的に不成立！>>75
QED！ｗ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/869

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