素数の規則を見つけたい。。。

素数の規則を見つけたい。。。 (701ﾚｽ)
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266: 2023/12/25(月)00:06 ID:cm14oBhI(1/19) AAS
-11^2<X<11^2の範囲内に約55個素数があるため２で割って
2,3,5,7を素因数に持たない数が円周上に均等に分布していると仮定するとき範囲内にある数は
約(2^n-2^(n-1))*(3^n-3^(n-1))*(5^n-5^(n-1))*(7^n-7^(n-1))*(11^2)/(2*3*5*7)^n個とみなせる

267: 2023/12/25(月)00:07 ID:cm14oBhI(2/19) AAS
素数121以下の素数は30個なので約(2^n-2^(n-1))*(3^n-3^(n-1))*(5^n-5^(n-1))*(7^n-7^(n-1))*(11^2)/(2*3*5*7)^n個とnによらず近づく

268(1): 2023/12/25(月)00:10 ID:cm14oBhI(3/19) AAS
1からP(m+1)^2の範囲内には (P(k)はk番目の素数、1<=k<=mの時)
約P(m+1)^2*1/Π(P(k)^n*Π(P(k)^n-P(k)^(n-1))個の素数がある

269: 2023/12/25(月)00:16 ID:cm14oBhI(4/19) AAS
(2^2-2^(1))*(3^2-3^(1))*(5^2-5^(1))*(7^2-7^(1))*(11^2-11^(1))*(13^2)/(2*3*5*7*11)^2≒35個
1から13^2の範囲内には39個の素数があるためほぼ等しい

(2^2-2^(1))*(3^2-3^(1))*(5^2-5^(1))*(7^2-7^(1))*(11^2-11^(1))*(13^2-13^(1))*(17^2)/(2*3*5*7*11*13)^2≒55個
1から17^2の範囲内には61個の素数があるためほぼ等しい

270: 2023/12/25(月)00:24 ID:cm14oBhI(5/19) AAS
P(m+1)^2*1/Π(P(k)^n*Π(P(k)^n-P(k)^(n-1))=(1-1/2)*(1-1/3)*・・・*(1-1/P(m))*P(m+1)^2
1以上∞以下の範囲内の素数の個数は　lim [m→∞] P(m+1)^2/ζ(1)＝∞になる
P(∞+1)^2のほうがζ(1)よりはるかに大きい

271(1): 2023/12/25(月)00:53 ID:cm14oBhI(6/19) AAS
11=floor(√(11^2より小さい素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7))))
11=floor(√(30/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7))))

13=floor(√(13^2より小さい素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11))))
13=floor(√(39/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11))))

17=floor(√(17^2より小さい素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13))))
17=floor(√(61/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13))))

P(m+1)=floor(√(P(m+1)^2より小さい素数の個数/(Π(1-1/P(k)))))

272: 2023/12/25(月)00:57 ID:cm14oBhI(7/19) AAS
floor(√(19^2より小さな素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17))))
19=floor(√(72/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17))))
floor(√(23^2より小さな素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19))))
23≒24=floor(√(99/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19))))　←ずれるため近似にしかならない

273: 2023/12/25(月)01:01 ID:cm14oBhI(8/19) AAS
floor(√(29^2より小さな素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23))))
29=floor(√(141/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23))))
floor(√(31^2より小さな素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29))))
31≒32=floor(√(162/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29))))
floor(√(37^2より小さな素数の個数/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31))))
37=floor(√(219/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31))))

274: 2023/12/25(月)01:06 ID:cm14oBhI(9/19) AAS
41≒42=floor(√(263/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37))))
43≒44=floor(√(283/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37)*(1-1/41))))
47≒48=floor(√(329/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37)*(1-1/41)*(1-1/43))))
53≒54=floor(√(409/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37)*(1-1/41)*(1-1/43)*(1-1/47))))

275: 2023/12/25(月)01:11 ID:cm14oBhI(10/19) AAS
59=floor(√(487/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37)*(1-1/41)*(1-1/43)*(1-1/47)*(1-1/53))))
61≒62=floor(√(519/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37)*(1-1/41)*(1-1/43)*(1-1/47)*(1-1/53)*(1-1/59))))
67≒68＝floor(√(609/((1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)*(1-1/7)*(1-1/11)*(1-1/13)*(1-1/17)*(1-1/19)*(1-1/23)*(1-1/29)*(1-1/31)*(1-1/37)*(1-1/41)*(1-1/43)*(1-1/47)*(1-1/53)*(1-1/59)*(1-1/61))))

276: 2023/12/25(月)01:19 ID:cm14oBhI(11/19) AAS
97=floor(√(1163/(770527199232000/5855632691117327*(1-1/67)*(1-1/71)*(1-1/73)*(1-1/79)*(1-1/83)*(1-1/89))))
floor(√(P(m+1)^2より小さい素数の個数/(Π(1-1/P(k)))))が２の倍数の時は1引くことで素数になる

277: 2023/12/25(月)01:45 ID:cm14oBhI(12/19) AAS
１からn番目の素数のみでn+1番目の素数の2乗より小さな素数の個数を求めることができれば
１からn番目の素数のみでn+1番目の素数を表現できる

278: 2023/12/25(月)12:25 ID:cm14oBhI(13/19) AAS
P(m+1)≒floor(√(P(m+1)^2より小さい素数の個数/(Π(1-1/P(k)))))
素数定理＝√x/ln(x)+E(x)(誤差項=√x*ln(x))
P(m+1)^2より小さい素数の個数≒(1/2)*P(m+1)^2/ln(P(m+1))+2*P(m+1)*ln(P(m+1))
√((1/2)*P(m+1)^2/ln(P(m+1))+2*P(m+1)*ln(P(m+1))*1/Π(1-1/P(k)))
P(m+1)≒floor(P(m+1)*√((1/2)*1/ln(P(m+1))+2*ln(P(m+1))/P(m+1)*1/Π(1-1/P(k))))

√((1/2)*1/ln(P(m+1))+2*ln(P(m+1))/P(m+1)*1/Π(1-1/P(k)))が１に収束する

lim P(m+1)→∞のときln(P(m+1))/P(m+1)＝０
省2

279: 2023/12/25(月)12:37 ID:cm14oBhI(14/19) AAS
√(((1/2)*1/ln(5))*1/((1-1/2)(1-1/3)))=0.96
√(((1/2)*1/ln(7))*1/((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)))=0.98
√(((1/2)*1/ln(11))*1/((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)))=0.95
√(((1/2)*1/ln(13))*1/((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)))=0.96
√(((1/2)*1/ln(17))*1/((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)))=0.95
√(((1/2)*1/ln(19))*1/((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)))=0.96

280: 2023/12/25(月)12:40 ID:cm14oBhI(15/19) AAS
√(((1/2)*1/ln(23))*1/((1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)(1-1/11)(1-1/13)(1-1/17)(1-1/19)))=0.96
Π(1-1/P(k))＝1からn番目の素数積
√(((1/2)*1/ln(P(n+1))*1/(Π(1-1/P(k)))≒1
e^(1/2*1/Π(1-1/P(k)))≒P(n+1) ←n+1番目の素数はe^(1/2*1/Π(1-1/P(k)))に近似する

281: 2023/12/25(月)18:23 ID:cm14oBhI(16/19) AAS
√(((1/2)*1/ln(P(n+1))*1/(Π(1-1/P(k)))/√(((1/2)*1/ln(P(n))*1/(Π(1-1/P(k)))≒1
P(n+1)≒e^(lnP(n)/(1-1/P(n))と近似できる　　　
P(2)=5≒5.19=e^(ln3/(1-1/3))
P(3)=7≒7.47＝e^(ln5/(1-1/5))
P(4)=11≒9.68=e^(ln7/(1-1/7))
P(5)=13≒13.98=e^(ln11/(1-1/11))

282: 2023/12/25(月)18:36 ID:cm14oBhI(17/19) AAS
誤差が大きくなってくるので
P(n+2)= e^(lnP(n)/((1-1/P(n))*(1-1/P(n+1))))やP(n+3)= e^(lnP(n)/((1-1/P(n))*(1-1/P(n+1))*(1-1/P(n+2))))と別々の表記にしたものを平均化して誤差を減らす
P(3)=7=7.66≒(e^(ln5/(1-1/5))+e^(ln3/((1-1/3)(1-1/5))))/2
P(4)=11≒10.3984＝(e^(ln7/(1-1/7))+e^(ln5/((1-1/5)(1-1/7)))+e^(ln3/((1-1/3)(1-1/5)(1-1/7))))/3
P(5)=13≒13.11=(e^(ln11/(1-1/11))+e^(ln7/((1-1/7)(1-1/11)))+e^(ln5/((1-1/5)(1-1/7)(1-1/11))))/3 ←およそ３個ほどで平均化すると誤差が減らせるためfloor関数かupper関数で素数にできる

283: 2023/12/25(月)23:30 ID:cm14oBhI(18/19) AAS
√((1/ln(P(m+2)^2)+ln(P(m+2)^2)/P(m+2))*1/Π(1-1/P(k)))≒1

√((1/ln(P(m+1)^2)+ln(P(m+1)^2)/P(m+1))*1/Π(1-1/P(k)))≒1

√(1/ln(P(n+1)^2)+ln(P(n+1)^2)/P(n+1))=√(1-1/n)*√(1/ln(P(n)^2)+ln(P(n)^2)/P(n))

√(1/ln(x^2)+ln(x^2)/x)≒√(1-1/n)*√(1/ln(P(n)^2)+ln(P(n)^2)/P(n)) ←x=n+1番目の素数（ｘ＞０を満たす解)

284: 2023/12/25(月)23:37 ID:cm14oBhI(19/19) AAS
P(n)はn番目の素数
√(1/ln(P(n+1)^2)+ln(P(n+1)^2)/P(n+1))-√(1-1/n)*√(1/ln(P(n)^2)+ln(P(n)^2)/P(n)) ≒0←n番目の素数とn+1番目の素数を入れるとほぼ０の差になる

√(1/ln(15319^2)+ln(15319^2)/15319)-√(1-1/15313)*√(1/ln(15313^2)+ln(15313^2)/15313)≒0=1.99*10^-6
√(1/ln(90031^2)+ln(90031^2)/90031)-√(1-1/90023)*√(1/ln(90023^2)+ln(90023^2)/90023)≒0=3.041*10^-7

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