[過去ﾛｸﾞ] 箱入り無数目を語る部屋2 (1002ﾚｽ)

箱入り無数目を語る部屋2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/

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51: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:18:46.27 ID:kvCTkQ4a >>3 補足 https://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_set Vitali set https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88 ヴィタリ集合 ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう、英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。 構成と証明 有理数体 Q は実数体 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。 R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。このようにして作られた集合がヴィタリ集合(V)と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v - r (v∈ V)が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算であり、 u,v∈ V,u≠ vであれば v - u は必ず無理数である。 (引用終り) ヴィタリ集合の非可測性を理解していないおサルがいるな 上記に、ヴィタリ集合を引用しておくので、勉強するようにｗ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/51

52: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:20:41.14 ID:kvCTkQ4a >>51 つづき さてここで、 1．実数体 Rを、無限小数 0.a0,a1,a2,・・→∞ とみると、 a0,a1,a2,・・には、0〜9の数が入る 2．一方、a0,a1,a2,・・→∞を、時枝の箱と見ると、a0,a1,a2,には、任意の実数が入る 3．つまり、a0,a1,a2,・・を下記の形式的冪級数の係数と考えることができるのです 　（上記ヴィタリにおいて、実数Rに対応するのが式的冪級数環A[[X]]で、有理数Qに相当するのが多項式環K[X]です。 　　下記及び前スレ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/416-417 ご参照） 4．ヴィタリ集合は、区間[0, 1]の中にR/Qの代表を詰め込んだものだ。代表全体は不可算個ある。だから、可測か非可測かを論じることができるのです 　しかし、一つの代表は、実数のただ1点にすぎないから、これは非可測ではない。明らかに、測度は0だ 5．それは、時枝でも同様。そもそも、代表100個しか使わないから、可測か非可測かを論じることが無意味 6．かつ、もっと言えば、下記形式的冪級数環A[[X]]は、無限次元ベクトル空間と見ることが出来る 　そもそも、下記無限次元ベクトル空間では、ヒルベルト空間のように計量を入れないと、可測か非可測かを論じることが無意味 　（ヒルベルト空間や河東ご参照） 7．時枝先生は、ヴィタリのミスリードで、2重に間違っている 　（代表は有限個しか使わないし＊）、R^Nには計量が そのままでは 入らないから非可測云々自身が無意味だ） 注＊） 簡単な話で、数列のしっぽで、同値類の類別だけで止めておいて、代表は無しで良い 　必要になったとき、100個だったら100個の代表を、そのときに取れば良い 　代表全体の集合を作る必要がないから、選択公理は使わないで 済ますことができる https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0 形式的冪級数 形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/52

53: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:21:21.97 ID:kvCTkQ4a >>52 つづき 定義 A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、 Σ_n=0〜∞ anX^n = a0+a1X+a2X^2+・・・ の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。 形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0 多項式環 目次 1 体上の一変数多項式環 K[X] 多項式には項が有限個しかないこと -つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ- は、暗黙の了解である。 多項式の次数とは X^k の係数が零でないような最大の k のことである。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93 ヒルベルト空間 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/53

54: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:22:19.97 ID:kvCTkQ4a >>53 つづき https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri1001.pdf 特集／無限次元 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010 無限次元 河東 泰之 数学的には無限次元を考えること自体は何らたいしたことはなく，必然 的なものである． n 次元ベクトル空間の一番簡単な例は，数を n 個並べたベクトルたちを考えたものである．そう 思うと，n = 3 でも n = 1, 000, 000 でも理論的に はたいした違いはない． 数学的な立場からみたとき，無限次元のベクト ル空間が出てくる自然な状況は関数を考えるとき である． それでは無限次元は有限次元の違いはどこから 発生するのであろうか．単に，何もかも違う，と 言っても言い過ぎではないかもしれないが，もっ と具体的に限定してみよう．私の研究している作 用素環論は，直接無限次元のベクトル空間の上の 線形写像たちを取り扱う．そこに出てくるさまざ まな議論，性質を見ると大きな違いは主に次の二 つから発生していることがわかる． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/54

55: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:22:50.64 ID:kvCTkQ4a >>54 つづき 一つ目は，無限集合はその真部分集合と同じサ イズだ，ということである．これを無限の定義と することもよくある重要な性質である．たとえば， 1 番を 2 番に動かし，2 番を 3 番に動かし，3 番を 4 番に . . . という操作を繰り返したとき，無限個 番号があれば，ずらした先では 1 番だけが余って しまう．あるいは，1 番を 2 番に動かし，2 番を 4 番に動かし，3 番を 6 番に . . . としていけば，無 限個余らせることも可能である．このことに関連 して，どんどん番号をずらしていくと，いくらで も「遠く」に持って行けるということもある．こ れらの性質が，無限次元ベクトル空間の線形写像 の興味深い性質を導き，多くの重要で新しい側面 をもたらすのである． もう一つの重要なポイントは，無限個の数は普 通は足せないということである．もちろん和が収 束する級数もいくらでもあるが，勝手な数列を取っ たとき，その和というものは一般には定義できな い．自然な理論を有限次元の時と同様に考えよう とすると，何らかの意味で和がとれるようなもの に話を限定する必要があり，通常の関数解析学で はそうすることが多い．これは，話を特殊なもの に限定しているようだが，この限定のためにかえっ て，無限次元でのみ興味深い現象が起こったりす るのである． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/55

57: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 11:29:53.49 ID:kvCTkQ4a >>49-50 >有限個の点を直線や線分で被ってそれらの中からランダムに1点を選んだときに >当たる確率をルベーグ測度を使って考えると、必然的に0になって確率計算を間違える 意味わからん 言葉のサラダか、ボキャ貧か 数え上げ測度：”ルベーグ積分における測度の一種である” とあるぞ（下記）。知らないらしいね (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E3%81%88%E4%B8%8A%E3%81%92%E6%B8%AC%E5%BA%A6 数え上げ測度 、数え上げ測度（かぞえあげそくど、英: counting measure; 計数測度）とは、集合の元の個数を数えるという方法でその "大きさ"（あるいは "容積"）を測る、ルベーグ積分における測度の一種である。 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13197595913 chiebukuro.yahoo すまし汁さん2018/10/14 14:15 数え上げ測度はなぜ測度になるんですか？ 直感的には明らかなんですが、きちんと証明するのが難しいです。 ベストアンサー rot********さん 2018/10/15 10:08 測度の定義を１つ１つ確かめていくだけなのでは？ （完全加法性の証明が少し面倒かもしれません。） 略 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/57

66: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 13:31:04.33 ID:kvCTkQ4a >>61-62 ＞ ID:72ztGQ8wっておっちゃんだろ？ ああ、そうか ID:72ztGQ8wっておっちゃんか なるほど、納得したよ おっちゃん（ID:72ztGQ8w） お元気そうでなによりだ まあ、よろしくね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/66

106: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 18:15:16.86 ID:kvCTkQ4a >>52 補足 >注＊） 簡単な話で、数列のしっぽで、同値類の類別だけで止めておいて、代表は無しで良い >　必要になったとき、100個だったら100個の代表を、そのときに取れば良い >　代表全体の集合を作る必要がないから、選択公理は使わないで 済ますことができる 同値類について 下記 木村（ kimu3_slime）ZFC公理系いいね 対の公理、置換の公理から 関係（relation）が定義できる 関係からは同値関係が定義でき、したがって同値類や商集合が定義できる なるほど、よく分かる https://math-fun.net/20200113/4906/ 公理的集合論をわかりやすく解説：ZFC公理系を例に 2020年1月13日2020年3月19日 木村（ kimu3_slime） 前回、公理的集合論を記述するための言語、論理式、文について解説しました。（集合論の公理だけいきなり見てもわからないと思うので、まずはこちらからどうぞ。） 今回はそれを使った公理的集合論の入門として、特にZFC公理系を紹介したいと思います。 目次 ZFC公理系とは 集合の存在公理 外延性の公理 内包性の公理・分出の公理 和集合の公理 対の公理 置換の公理 無限の公理 冪集合の公理 基礎の公理 選択公理 公理から導かれる結果 置換の公理 置換の公理（replacement scheme）： Φをx,y,A,w1,…,wn を自由変数にもつ論理式として、 ∀A∀w1,…,wn[(∀x∈A∃!yΦ)⇒(∃Y∀x∈A∃y∈YΦ)] （∃!は一意に存在することを意味します） これを使うと、A,Bの直積集合（cartesian product） A×B={(x,y)?x∈A∧y∈B} が集合として存在することを示せます（詳細は長いので簡単に）。 （n個の直積もここから作れます） ある固定したy∈Bに対し、 (A,y) の組のようなものが対の公理、置換の公理から作れます。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/106

107: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 18:15:41.80 ID:kvCTkQ4a >>106 つづき さらに同様のことをして、 (A,B) の組のようなものが作れ、その和集合として直積が定義されます。 さらには、関係（relation）が定義できます。 それは、順序対の集合です。つまり、直積集合 A×B の部分集合Rを、二項関係（binary relation）と呼びます。もし (x,y)∈R なら、 x,y は関係していると考えるわけですね（直積がn個ならn項関係です。） そして関係を使えば、写像・関数（mapping, function）が定義できます。 公理から導かれる結果 これまで述べてきた公理によって、数学は構成されます。 関係からは同値関係が定義でき、したがって同値類や商集合が定義できます。 写像を使えば、写像の全射、単射、濃度も定義できます。集合X上の数列も、 f:N→X として扱えますね。 無限公理からその存在が言えた自然数の集合N を使って、整数、有理数、実数、複素数の集合も構成できます。 長くなりましたが、集合論の公理として、ZFC公理系を紹介してきました。 そのどれもが、基本的な集合の存在または構成方法を示している文であることが、感じ取ってもらえたでしょうか。 数の集合や順序、関数といった数学では当たり前のように使う対象も、すべて集合として構成できる、そしてその基礎には形式言語を使った論理があるという話は、改めて見返すと良くできていて、面白いなと思います。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/107

108: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 18:29:36.88 ID:kvCTkQ4a >>45 >Dmaxを固定して考えれば、上記の通りだが >dを固定して考えれば、全く逆のことがおきる それって、決定番号を使った計算が Well-defined ではない（下記）ことを、意味していると思うよ https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined Well-defined well-defined[注釈 1]（ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う[2]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/108

111: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 19:57:11.13 ID:kvCTkQ4a >>106 ついで ”「どのようなグループ分け(同値関係による商集合)に 対しても, 必ず 代表系を選び出すことができる」ということを主張しているのが 選択公理である”(山上 滋) http://sss.sci.ibaraki.ac.jp/student/btp/node8.html 証明する上で必要な集合論の諸概念 Yamagami Shigeru 平成15年2月14日 「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を証明する上で必要と なる, 集合論の知識をあげておく. 同値類全体の集合を, 集合$X$の同値関係〜による 商集合といい, $X/〜$ と書く. 同値類$C$に属する各元を$C$の代表という. 選択公理(ツェルメロ) 集合$X$が, 空でない部分集合の族に分割されているとする. このとき, 各部 分集合から一つずつ要素を選び出して, それらを集めることにより, 一つの 集合を作ることができる. これは, 選択公理と呼ばれるもので, 非常に便利なの だが, この公理の妥当 性に関しては種々の議論がある. しかし, 数学的に 重要な数々の定理の証明に この公理を用いる. 一方で, この公理を仮定したが ために, 直観的には自然で ないような定理も得られてしまう. 「バナッハ・タルスキーのパラドックス」 もそのような定理の一つといえる. 「バナッハ・タルスキーのパラドックス」の 証明において, 選択公理は必要不可欠であるので, 選択公理 について, もう少しだけ説明しておくことにする. 同値関係によって作られる同値類 とは, 簡単に言うと, 同じ性質を 持つもの同士のグループのことである. そして, これによって現れる グループの全体を (同値関係による)商集合と呼ぶので ある. また, 各グループの代表を集めたものを代表系 (または選択集合)と呼ぶ. 「どのようなグループ分け(同値関係による商集合)に 対しても, 必ず 代表系を選び出すことができる」ということを主張しているのが 選択公理である. これは直観的に明らかに 見えるのだが, なかなか奥が 深い. 一例として, 非可測集合の存在があげられる. 実数全体 Rに〜を x〜 y ⇔ x-y が有理数 とおくと, 各同値類は, 有理数全体 Qを与えられた 実数だけずらしたものに なっていて, そのグループ分けは直観的に 把握できるような類いのものでは ない. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/111

112: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 19:57:40.03 ID:kvCTkQ4a >>111 つづき この場合の代表系は“具体的に”構成するのは 難しい(というより, 実 はできない). にもかかわらず, 選択公理を仮定する ということは, その 存在を認めることに他ならず, 必ずしも明らかなこととは なっていないのである. https://researchmap.jp/read0168181 山上 滋 Shigeru Yamagami 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科 基幹数理 元教授 (名誉教授) 数学を教えて糊口をしのぎ、量子物理を背景にした数学的構造のユニタリー表現と作用素解析で遊んでいました。 http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/ 名古屋大 Shigeru's Scratchy Shelf https://konn-san.com/math/SkeletonAndAC.html 圏の骨格と選択公理 konn-san.com 要旨 選択公理と同値な命題として，圏論における骨格の存在定理を採り上げる． そのため，まず必要となる圏の知識を概説し，それから定理と選択公理の同値性証明に入る． 定理の存在自体は英語版 Wikipedia [???] の記事から見付けてきた． 圏の骨格の定義は MacLane [1] および檜山 [???] に拠る． 骨格の存在証明は，nLab [???] および Awodey [2] を参考にし たが，これらの主眼は骨格ともとの圏の同値性であり，また nLab での骨格の定義 は我々の採用しているものと異なるので，ここで紹介する証明はこれらとは若干 異なるか簡略化されたものとなっている．逆に，骨格の存在定理から選択公理を 導く証明は nLab の方に載っていたものを，より詳細に厳密に書き直したものを 掲載してある1． http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/set/set20210122.pdf 集合論 花木 章秀 信州大学理学部数学科 講義ノート 2020 年度後期 (2021/01/22) (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/112

117: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 22:37:38.94 ID:kvCTkQ4a >>114 ＞実は非可測集合も、生成元１の自由群（つまり整数全体の群）の性質を使って構成される ＞したがって、例えば、実数直線全体を使えば、同様の例が選択公理なしに作れる あれあれ？ ソロベイの定理の反例があるというのかい？ それなら、論文になるだろう・・ おっと、下記の渕野先生の ”ヴィタリによる非可測集合の構成法を思い出してみると，R が整列可能 なら，ヴィタリが構成したような非可測集合が作れることがわかります．集合論の 公理系が無矛盾なら，選択公理を集合論の公理から除いたものに，選択公理の否定 と R の整列可能性の主張を加えた体系も無矛盾であることが示せます (例えば，前 出の Kunen [33] の VII 章の演習問題 (E4) の変形でこれが示せます[註 59] )． この 体系では，選択公理は成り立たないけれど，非可測集合は存在します．”か https://fuchino.ddo.jp/misc/superlesson.pdf 『無限のスーパーレッスン』 のhyper-critique 渕野 昌 (Saka´e Fuchino) 2021 年 08 月 13 日 (00:19 JST) この原稿の初版の upload: 2014 年 12 月 23 日 P21 選択公理を否定すると、すべての図形に体積が定義できるんだ、ということを 聞いたことがあります。 (無限のスーパーレッスン，p.203) 自然に予想できるように，「すべての図形に体積が定義できる」とい う主張の真偽も，単に選択公理を否定しただけでは決定できません． ソロベイ (Solovay) は 1971 年の論文で (16) 集合論の公理系に到達不可能基数の存在の主張を付加して得られる公理系 が矛盾しないなら，選択公理を除いた集合論の公理系に「すべての図形に 体積 (Lebesgue 測度) が定義できる」という主張と (従属選択公理 Axiom of Dependent Choice) と呼ばれる弱い選択公理を付け加えた体系も矛盾 しない ことを証明しています． つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/117

118: １３２人目の素数さん [sage] 2021/08/21(土) 22:38:18.39 ID:kvCTkQ4a >>117 つづき また，シュタインハウス[註 58] とミチェルスキは 1962 年の 論文で，現在では決定性の公理 (Axiom of Diterminacy (AD)) と呼ばれている公 理 (と選択公理以外の集合論の公理) から，すべての図形に体積が定義できること を証明しています．この公理については，更に 1990 年代以降に大きな研究の進展 があったのですが，それについては，たとえば Kanamori [30] をご覧ください． 一方，ヴィタリによる非可測集合の構成法を思い出してみると，R が整列可能 なら，ヴィタリが構成したような非可測集合が作れることがわかります．集合論の 公理系が無矛盾なら，選択公理を集合論の公理から除いたものに，選択公理の否定 と R の整列可能性の主張を加えた体系も無矛盾であることが示せます (例えば，前 出の Kunen [33] の VII 章の演習問題 (E4) の変形でこれが示せます[註 59] )． この 体系では，選択公理は成り立たないけれど，非可測集合は存在します． (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/118

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