[過去ﾛｸﾞ] 箱入り無数目を語る部屋2 (1002ﾚｽ)
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51(3): 2021/08/21(土)11:18 ID:kvCTkQ4a(1/14) AAS
>>3 補足
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Vitali set
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ヴィタリ集合
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう、英: Vitali set）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ非可測な実数集合の基本的な例である[1]。ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算個のヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。1970年にロバート・ソロヴェイ（英語版）は、到達不能基数の存在を仮定することにより、全ての実数の集合がルベーグ可測となるような（選択公理を除いた）ツェルメロ・フレンケル集合論のモデルを構築した[2]。
構成と証明
省6
52(6): 2021/08/21(土)11:20 ID:kvCTkQ4a(2/14) AAS
>>51
つづき
さてここで、
1．実数体 Rを、無限小数 0.a0,a1,a2,・・→∞ とみると、 a0,a1,a2,・・には、0〜9の数が入る
2．一方、a0,a1,a2,・・→∞を、時枝の箱と見ると、a0,a1,a2,には、任意の実数が入る
3．つまり、a0,a1,a2,・・を下記の形式的冪級数の係数と考えることができるのです
（上記ヴィタリにおいて、実数Rに対応するのが式的冪級数環A[[X]]で、有理数Qに相当するのが多項式環K[X]です。
省16
53(1): 2021/08/21(土)11:21 ID:kvCTkQ4a(3/14) AAS
>>52
つづき
定義
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする（一変数）形式的冪級数 (formal power series) とは、各 ai (i = 0, 1, 2, …) を A の元として、
Σ_n=0〜∞ anX^n = a0+a1X+a2X^2+・・・
の形をしたものである。ある m が存在して n ≧ m のとき an = 0 となるようなものは多項式と見なすことができる。
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という。
省10
54(1): 2021/08/21(土)11:22 ID:kvCTkQ4a(4/14) AAS
>>53
つづき
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ms.u-tokyo.ac.jp
特集／無限次元 数理科学 NO. 559, JANUARY 2010
無限次元
河東 泰之
数学的には無限次元を考えること自体は何らたいしたことはなく，必然
省17
55: 2021/08/21(土)11:22 ID:kvCTkQ4a(5/14) AAS
>>54
つづき
一つ目は，無限集合はその真部分集合と同じサ
イズだ，ということである．これを無限の定義と
することもよくある重要な性質である．たとえば，
1 番を 2 番に動かし，2 番を 3 番に動かし，3 番を
4 番に . . . という操作を繰り返したとき，無限個
省22
57(2): 2021/08/21(土)11:29 ID:kvCTkQ4a(6/14) AAS
>>49-50
>有限個の点を直線や線分で被ってそれらの中からランダムに1点を選んだときに
>当たる確率をルベーグ測度を使って考えると、必然的に0になって確率計算を間違える
意味わからん
言葉のサラダか、ボキャ貧か
数え上げ測度：”ルベーグ積分における測度の一種である”
とあるぞ（下記）。知らないらしいね
省17
66: 2021/08/21(土)13:31 ID:kvCTkQ4a(7/14) AAS
>>61-62
＞ ID:72ztGQ8wっておっちゃんだろ？
ああ、そうか
ID:72ztGQ8wっておっちゃんか
なるほど、納得したよ
おっちゃん（ID:72ztGQ8w）
お元気そうでなによりだ
省1
106(2): 2021/08/21(土)18:15 ID:kvCTkQ4a(8/14) AAS
>>52 補足
>注＊） 簡単な話で、数列のしっぽで、同値類の類別だけで止めておいて、代表は無しで良い
> 必要になったとき、100個だったら100個の代表を、そのときに取れば良い
> 代表全体の集合を作る必要がないから、選択公理は使わないで 済ますことができる
同値類について
下記 木村（ kimu3_slime）ZFC公理系いいね
対の公理、置換の公理から 関係（relation）が定義できる
省34
107: 2021/08/21(土)18:15 ID:kvCTkQ4a(9/14) AAS
>>106
つづき
さらに同様のことをして、
(A,B)
の組のようなものが作れ、その和集合として直積が定義されます。
さらには、関係（relation）が定義できます。
それは、順序対の集合です。つまり、直積集合
省20
108(4): 2021/08/21(土)18:29 ID:kvCTkQ4a(10/14) AAS
>>45
>Dmaxを固定して考えれば、上記の通りだが
>dを固定して考えれば、全く逆のことがおきる
それって、決定番号を使った計算が
Well-defined ではない（下記）ことを、意味していると思うよ
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
Well-defined
省1
111(2): 2021/08/21(土)19:57 ID:kvCTkQ4a(11/14) AAS
>>106 ついで
”「どのようなグループ分け(同値関係による商集合)に 対しても, 必ず 代表系を選び出すことができる」ということを主張しているのが 選択公理である”(山上 滋)
外部ﾘﾝｸ[html]:sss.sci.ibaraki.ac.jp
証明する上で必要な集合論の諸概念 Yamagami Shigeru 平成15年2月14日
「バナッハ・タルスキーのパラドックス」を証明する上で必要と なる, 集合論の知識をあげておく.
同値類全体の集合を, 集合$X$の同値関係〜による 商集合といい, $X/〜$
と書く. 同値類$C$に属する各元を$C$の代表という.
省15
112: 2021/08/21(土)19:57 ID:kvCTkQ4a(12/14) AAS
>>111
つづき
この場合の代表系は“具体的に”構成するのは 難しい(というより, 実 はできない).
にもかかわらず, 選択公理を仮定する ということは, その 存在を認めることに他ならず, 必ずしも明らかなこととは なっていないのである.
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
山上 滋 Shigeru Yamagami 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科 基幹数理 元教授 (名誉教授)
数学を教えて糊口をしのぎ、量子物理を背景にした数学的構造のユニタリー表現と作用素解析で遊んでいました。
省10
117(5): 2021/08/21(土)22:37 ID:kvCTkQ4a(13/14) AAS
>>114
＞実は非可測集合も、生成元１の自由群（つまり整数全体の群）の性質を使って構成される
＞したがって、例えば、実数直線全体を使えば、同様の例が選択公理なしに作れる
あれあれ？
ソロベイの定理の反例があるというのかい？
それなら、論文になるだろう・・
おっと、下記の渕野先生の
省26
118(1): 2021/08/21(土)22:38 ID:kvCTkQ4a(14/14) AAS
>>117
つづき
また，シュタインハウス[註 58] とミチェルスキは 1962 年の
論文で，現在では決定性の公理 (Axiom of Diterminacy (AD)) と呼ばれている公
理 (と選択公理以外の集合論の公理) から，すべての図形に体積が定義できること
を証明しています．この公理については，更に 1990 年代以降に大きな研究の進展
があったのですが，それについては，たとえば Kanamori [30] をご覧ください．
省8
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