純粋・応用数学 5

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学 5 (255ﾚｽ)
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189: １３２人目の素数さん [] 2020/10/27(火) 19:08:14.39 ID:RdShKY6k

リゾルベント

https://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_(Galois_theory)

In Galois theory, a discipline within the field of abstract algebra, a resolvent for a permutation group G is a polynomial whose coefficients depend polynomially on the coefficients of a given polynomial p and has, roughly speaking, a rational root if and only if the Galois group of p is included in G. More exactly, if the Galois group is included in G, then the resolvent has a rational root, and the converse is true if the rational root is a simple root.

抽象代数学の一分野であるガロア理論では、順列群Gに対するレゾルベントとは、係数が多項式pの係数に多項式的に依存する多項式であり、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ、大まかに言えば有理根を持つものである。

Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. The simplest examples of resolvents are

・X^2-Delta   where Delta is the discriminant, which is a resolvent for the alternating group. In the case of a cubic equation, this resolvent is sometimes called the quadratic resolvent; its roots appear explicitly in the formulas for the roots of a cubic equation.
The cubic resolvent of a quartic equation, which is a resolvent for the dihedral group of 8 elements.
The Cayley resolvent is a resolvent for the maximal resoluble Galois group in degree five. It is a polynomial of degree 6.

今ではまだガロア群を計算するための基本的なツールとなっています。リゾルベントの最も単純な例は
・X^2-Delta ここで、Deltaは判別子であり、交代群の利ゾルベントである。
　3次方程式の場合，このリゾルベントは2次リゾルベントと呼ばれることがある．
　その根は，3次方程式の根の公式の中に明示的に現れる．
・四分方程式の三次レゾルベントは、8要素の二面体群のためのレゾルベントである。
・ケイリーレゾルベントは、5次の最大可解ガロア群のレゾルベントである。
　次数6の多項式である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601979409/189

190: １３２人目の素数さん [] 2020/10/27(火) 19:21:37.23 ID:RdShKY6k

五次関数　＃解ける五次関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function#Solvable_quintics

To characterize solvable quintics, and more generally solvable polynomials of higher degree, Évariste Galois developed techniques which gave rise to group theory and Galois theory. Applying these techniques, Arthur Cayley found a general criterion for determining whether any given quintic is solvable. This criterion is the following.

可解な五次式、より一般的には高次の可解な多項式を特徴づけるために、 Évariste Galoisは群論とGalois理論を生み出した技術を開発した。これらの技術を応用して、アーサー・ケイリーは、与えられた五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。 この基準は以下の通りである。

quintics are solvable by radicals if and only if either they are factorisable in equations of lower degrees with rational coefficients or the polynomial named Cayley's resolvent, has a rational root in z

五項式は，有理な係数を持つ低次の方程式で因数分解可能であるか，ケイリーのリゾルベントと呼ばれる多項式がzの有理根を持つ場合に限り，根号によって解くことができる．

（注：ケイリーのリゾルベントの式は複雑なのでここでは記さない　リンク参照）

Cayley's result allows us to test if a quintic is solvable. If it is the case, finding its roots is a more difficult problem, which consists of expressing the roots in terms of radicals involving the coefficients of the quintic and the rational root of Cayley's resolvent.

ケイリーの結果は，五次式が解けるかどうかを調べることを可能にしている．もしそうであれば，その根を見つけることはより困難な問題である．これは，根を五次式の係数を含む根号とケイリーのリゾルベントの有理根で表現することからなる．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601979409/190

251: １３２人目の素数さん [] 2020/10/31(土) 08:59:56.70 ID:CLm9DCft

タイヒミュラー空間
https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space

Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus ｇ>= 2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces.
Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

リーマン曲面とそれに関連するフックス群のためのモジュライ空間は、種数g>=2の曲面上の複雑な構造の変化を記述するために6g-6のパラメータが必要であることを知っていたBernhard Riemann (1826-1866)の仕事以来、研究されてきた。
19世紀後半から20世紀初頭にかけてのタイヒミュラー空間の初期の研究は、幾何学的なものであり、リーマン曲面を双曲面として解釈することに基づいていた。
主な貢献者には、フェリックス・クライン、アンリ・ポアンカレ、ポール・コーベ、ヤコブ・ニールセン、ロベルト・フリック、ヴェルナー・フェンチェルなどがいる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601979409/251

255: １３２人目の素数さん [] 2020/10/31(土) 16:44:54.06 ID:CLm9DCft

写像類群
https://en.wikipedia.org/wiki/Mapping_class_group

The mapping class groups of surfaces have been heavily studied, and are sometimes called Teichmüller modular groups (note the special case of MCG(T^2) above), since they act on Teichmüller space and the quotient is the moduli space of Riemann surfaces homeomorphic to the surface.
These groups exhibit features similar both to hyperbolic groups and to higher rank linear groups.
They have many applications in Thurston's theory of geometric three-manifolds (for example, to surface bundles).
The elements of this group have also been studied by themselves: an important result is the Nielsen–Thurston classification theorem, and a generating family for the group is given by Dehn twists which are in a sense the "simplest" mapping classes.
Every finite group is a subgroup of the mapping class group of a closed, orientable surface, in fact one can realize any finite group as the group of isometries of some compact Riemann surface (which immediately implies that it injects in the mapping class group of the underlying topological surface).

曲面の写像類群は，これまで熱心に研究されてきており，タイヒミュラー空間に作用し，商がその曲面に同形のリーマン曲面のモジュライ空間であることから，タイヒミュラーモジュラー群と呼ばれることもある（上記のMCG(T^2)の特殊なケースに注意）．
これらの群は双曲群と高位線形群の両方に似た特徴を示す。
これらの群は、サーストンの幾何学的三次元多様体の理論において多くの応用がある（例えば、曲面束への応用）。
この群の要素はそれ自体も研究されており、重要な結果はNielsen-Thurstonの分類定理であり、この群の生成族はある意味で「最も単純な」写像類であるDehnのねじれによって与えられている。
すべての有限群は，閉じた方向性のある曲面の写像類群の部分群であり，実際には，任意の有限群をコンパクトなリーマン曲面の等長写像の群として実現することができる（これは，すぐに，その下にある位相曲面の写像類群に包含することを意味する）．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1601979409/255

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