[過去ﾛｸﾞ] 複素解析 (1002ﾚｽ)
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931: 2022/09/25(日)13:10 ID:R5QTp6Wd(1/8) AAS
>>926
それこそCauchyの成分表示で正則関数が作れる

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934(3): 2022/09/25(日)17:33 ID:R5QTp6Wd(2/8) AAS
f(w): given on |w|=1

g(z):= ∫_{|w|=1} f(w)/(w-z) dw is holomorphic on |z|<1

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935: 2022/09/25(日)17:35 ID:R5QTp6Wd(3/8) AAS
>>934
1/(2πi) 倍を忘れた

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938(1): 2022/09/25(日)19:13 ID:R5QTp6Wd(4/8) AAS
>>937
単位円周上の関数f(w)を勝手に与えると、その値を境界値にもち内部で正則な関数が g(z)

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943: 2022/09/25(日)23:43 ID:R5QTp6Wd(5/8) AAS
>>941
>>934をもう一度良く整理して書くと、

単位円周上の任意の連続関数 f(w) (|w|=1) を与えたとき、

g(z) ：= 1/(2πi) * ∫_{|w|=1} f(w)/(w-z) dw

と定義すると、g(z) は内部 |z|<1 で正則となる．

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944: 2022/09/25(日)23:46 ID:R5QTp6Wd(6/8) AAS
>>941
求めた正則関数は g(z) だから、コーシーの積分定理を使って 0 は g(z) について成立するが、
その式は g(z) の周回積分だから、結果2重積分になる（答は0）。

しかし、与えた関数 f(w) は円周でしか定義されていない連続関数であることに注意。

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945(2): 2022/09/25(日)23:47 ID:R5QTp6Wd(7/8) AAS
>>945
ちなみに、証明はコーシーの積分表示から直ちに分かります。

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946: 2022/09/25(日)23:51 ID:R5QTp6Wd(8/8) AAS
>>941
> よって，1／ｚと同じ値を単位円周上で取りながら、
> 周を含めて単位円盤上で正則な関数は存在しないはずだよ。

境界の円周まで込めて正則というのであれば、それは無理。
私の答も円の内部 |z|<1 としています。

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