純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
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675: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/25(火) 16:56:18.67 ID:2yNZ8A8t

>>674 補足

”質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？”
余談ですが、実数体Rベースの有限次元ベクトル空間だと、基底は必ずあるのですね

Rが体や斜体ではない一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね
なるほど

（参考）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/
線形代数学第二B （2010年度） 山田光太郎  2011年2月11日
講義資料
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101111.pdf
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．

P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．

質問： 基底の存在しないベクトル空間とは要するにRn (n = 1) のことですか？どんなベクトル空間にも基底はあるのが普通ですよね．
お答え： 普通ではありません．この授業で扱うのはほとんどが有限次元，というだけのことです．
そして無限次元ベクトル空間にもいろいろなものがあり，単純にR1 と書くことはほとんどありません．ここでは深入りしませんが．

質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/675

687: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/26(水) 17:40:56.87 ID:iiai9c8f

>>675
＞Rが一般の環などになると、基底を持つ持たないは、結構ややこしいということですね

単に◆yH25M02vWFhP が、「一次独立」を全然理解してないだけ

■環上の加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%92%B0%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4

抽象代数学における環上の加群（かぐん、英: module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、
係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。
つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、
その元と環の元との間に乗法が定義され、
その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。

Z を有理整数環とすると、Z-加群の概念はアーベル群の概念に一致する。
すなわち、一意的な仕方で任意のアーベル群を Z 上の加群にすることができる。
これには、n > 0 に対して nx = x + x + ... + x（n-項の和）とし、
0x = 0 および (−n)x = −(nx) とおけばよい。
このようにアーベル群を加群と見たものは必ずしも基底を持たない。
実際、ねじれ元を持つような群は基底を持たない
（ただし、有限体をそれ自身の上の加群と見たときは基底を持つ）。

■捩れ（代数元）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8D%A9%E3%82%8C_(%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6)

抽象代数学において、捩れ（ねじれ、英: torsion）は、・・・
環上の加群の場合は、環のある正則元によって零化される加群の元を言う。

環 R 上の加群 M の元 m は、環の正則元（＝零因子でない元）r が存在して、
m を零化する、すなわち r m = 0 となるとき、
加群の捩れ元 (torsion element) という。

■自由加群
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%94%B1%E5%8A%A0%E7%BE%A4

R-加群 M について、集合 E ⊂ M が M の基底であるとは、次の2条件を満たすことである。

・E は M を生成する。
　すなわち、M の任意の元は E の元に R の係数をかけたものの有限和である。
・E は一次独立である。
　すなわち、任意の E の互いに異なる有限個の元e1,e2,…,enに対して
　r1e1+r2e2+…+rnen=0Mであれば、r1=r2=・・・=rn=0Rとなる。

R-加群 M が基底をもつとき、M は自由加群であるという。
---

>>681
>自由加群とは、ねじれフリーの加群ということですね

自由加群（つまり基底がある）⇒ねじれ元がない　がいえる（基底の定義から自明）
しかし逆は即座には言えない
（つまりねじれ元がなくても、基底が存在しない場合があり得る）

自由、とはいかなる（自明でない）関係式も存在しない、という意味
つまりねじれ以外の関係式も存在しない

とはいえ、基底とか一次独立とか知らないとか、
大学全く行ったことないのがバレバレ
（理系大学卒なら、こんなの大学1年の線形代数で習う常識中の常識）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/687

692: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2020/08/26(水) 18:32:24.09 ID:xagmva3J

>>674の基底の定義は、有限次元の場合しか考えてない
>無限次元線形空間を扱うには、基底が無限集合となる場合も認めなければならない。

確かに、>>675より
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2010/linear2/20101111.pdf
線形代数学第二B 講義資料5 山田光太郎 東工大 2010 年11 月11 日(2010 年11 月11 日訂正)
(抜粋)
P7
5.3 例
前回みたように
F = {f | f は R 上で定義された実数値関数全体 }
は R 上の無限次元ベクトル空間となる．
P3
質問： F について，F ∋ fk(x) = x^k としたとき√x がf の（原文ママ，"fk の" ということか）線形結合で書けない
のは√x がR 上全体で定義されていないからですか？
お答え： いいえ．f(x) = e^x で定まるf ∈ F も{fk; k = 0,...,N} の線形結合では表せません．

質問： ベクトル空間が基底をもたないとはどういうことですか？基底をもたないということがあるのですか？
お答え： 例をあげたはず．F は基底をもちません．
(引用終り)

確かに、この問答は、あまり教育的ではないね
「R 上の無限次元ベクトル空間となる」と、「例をあげたはず．F は基底をもちません」とは、アンマッチだね
「F は”有限”基底をもちません」と言えばよかったね
でも、下記の関数空間に、関係してくるから、深入りしたくなかったのかも
”Hamel(ハメル)基底”とか話をしだすと、収拾つかないと思ったかも

https://math-note.xyz/set-and-topological-space/set-theory/application-of-hamel-basis/#fxyfxfy
あーるえぬ｜数学のあれこれ
ハメル基底とf(x+y)=f(x)+f(y)をみたす関数 2017/10/16

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/692

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