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純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
純粋・応用数学（含むガロア理論）3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
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463: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/20(木) 21:21:21 ID:gmO23IhH >>428 訂正 訂正しときます （訂正のみ書くよ） （補足） ・行列単位の積 EikEkl = Eil となる（なおEik等は、行列単位で、(i, k) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列（下記戸松ご参照）） ・上記同様だが、下記花木の問 25(4)で 0 ≠ A = (aij) ∈ I でのEkiAEjｌ を考える（なお、0 ≠ Aより、一般性を失うことなく、あるaijで aij≠0と仮定することができる） 前半の積EkiAの部分は、単位行列 EkiとAとの積で 「積EkiAは、行列Aのi行目が抜き出されでk行目に転写され、その他の"行”が0となる行列」となる（>>459） （つまり、0ではない成分aijは、(k, j)の位置へ移る） ・同様に、任意の行列 B = (bkj) で、 「積BEkl は、行列Bのj列目が抜き出されでｌ列目に転写され、その他の"列”が0となる行列」である（上記同様である） （つまり、B＝EkiAを考えると、上記(k, j)の位置のaijは、(k, ｌ)の位置へ移る） ・結局、aijを、任意に選んだ(k, ｌ)の位置に移すことができる ・仮定よりaij≠0だから、これに逆数 aij^-1を掛けて aij^-1 EkiAEjｌ ＝Ekl が導かれる ・klの組は、任意に選べるから、一つのaij≠0なる要素から、任意の行列単位Ekl が導かれ、イデアルI内の行列 A = (aij) ∈ I から積のみを使って導かれるので イデアルI内に、任意の行列単位 Eklが存在する、つまり Ekl ∈ Iとなる ＜なお参考に下記を再録しておく＞ http://zen.shinshu-u.ac.jp/modules/0071000003/main/index.html 代数入門問題集 環 信州大学 理学部 数理・自然情報科学科 花木章秀 2008年6月19日 （問 25 26の解答ご参照） https://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/rto/lin1/L1.pdf 線形代数学 I 及び演習（演習） No.1 9 月 16 日配布 担当：戸松 玲治 (抜粋) （P1〜2の「(i, j) 成分のみ 1, 残りは 0 という行列を Eij と書く. これを行列単位」の説明ご参照） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/463
464: １３２人目の素数さん [] 2020/08/20(木) 22:02:46 ID:W815SeIs >>463 解答見ても間違え、間違いを手取り足取り教えてもらって >訂正しときます にふいたｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/464
547: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/08/22(土) 10:18:54 ID:qg6YAvVW >>528 補足 >数学に王道無しというが、王道は無くても、正道はあるとおもう >正道とは、自分に適した道のこと さて、下記の問題で、 (>>378) >実数体R上のn(≧1)次正方行列環Mn(R)のイデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ。 もう一度、この問題のまとめを しよう 大体は、>>463と>>481に書いたけど、証明の方針は、下記の「環Rが体であることの必要十分条件は自明なイデアルしか持たないことである」に同じ （蛇足だが、{0}（零0から成るイデアル）と、環R全体から成るイデアルを、自明なイデアルという） ＜チャート式風考察＞（＾＾； １．問題文の「イデアルはMn(R)と{0}に限られることを証明せよ」から、Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして、Iの性質を調べるという筋が浮かぶ 背理法で、「Mn(R)と{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」から、矛盾（実はI＝R）でも良いし 背理法を避けて、「{0}以外の（中間の）イデアルIがあったとして」でも良い 要は、「（中間の）イデアルI」に思い至ること ２．イデアルの知識として、乗法単位元1が、イデアルIに含まれると、I＝Rとなることを知っておく、1∈I →I＝R （いまの場合、単位行列E∈I を示すという方針になる） これは、1∈I→1R⊂I から出る ３．上記で既に言及しているが、I＝Rという等号は、”I⊂R ＆ R⊂I”に分けて証明することが多い （余談だが、これは不等式で、I＝Rという等式を、”I>=R ＆ R=<I”に分けて証明するのに類似） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/547
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