純粋・応用数学（含むガロア理論）3

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学（含むガロア理論）3 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

320: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 07:54:36 ID:0IMtsn2Y

>>319
つづき

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%B6%E5%9B%A0%E5%AD%90
零因子
(抜粋)
環 R の元 a は、ax=0 となる x≠0 が存在するとき、左零因子（英: left zero divisor）と呼ばれる[1]。

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/TEACH/daisu-nyumon.pdf
代数系への入門 松本　眞 広島大 平成 25 年 8 月 26 日

P45
2.4 群
2.4.1 逆元と群

定義 2.4.1. (S, ・) を単位元 eS を持つマグマとする。（単位元はあれば一つであること、すなわち問題 2.12 に注意。）
g ∈ S の（e に関する）左逆元 a とは、
a ・ g = eS
を満たす a ∈ S のことをいう。
g ∈ S の右逆元 b とは、
g ・ b = eS
を満たす b ∈ S のことをいう。
g の左逆元であって、かつ右逆元であるような元を g の逆元という。すなわち、
a ・ g = eS, g ・ a = eS
となるような a のことである。
逆元を持つ元を可逆元という。
命題 2.4.2. (S, ・, eS) をモノイドとする。g に左逆元 a と右逆元 b が存在するならば、それら
は一致する。特に、g の逆元は存在すれば唯一つ。これを g-1 で表す。

証明.
a = a ・ eS = a ・ (g ・ b) = (a ・ g) ・ b = eS ・ b = b.
よって左逆元と右逆元は、両方存在すれば一致する。
特に、逆元が二つあったとしよう。それらを a, b とすれば、a は左逆元でもあるし、b は右
逆元でもあるから、上の事実より一致せざるを得ない。

問題 2.20. モノイドの代わりに、条件を弱めて「単位元をもつマグマ」に対しても、逆元が
存在すれば唯一つであることが証明できるか？
ヒント：実は、反例がたくさんあり、当然証明はできない。例えば (R, *) を
x * y = x + y + x^2y^2
で定義するとこれはマグマであり、0 が単位元となっている。
x * y = 0
を二次方程式の解の公式を用いて解くと、逆元が二つ存在することがあることがわかる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/320

321: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2020/08/16(日) 07:55:35 ID:0IMtsn2Y

>>320

つづき

（>>314-315も、ご参照）
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/
代数入門 (代数入門演習) 花木章秀 信州大
問題集
version 20120704
http://math.shinshu-u.ac.jp/~hanaki/edu/intro/intro_mondai_20120704.pdf
代数入門問題集 [20120704]
1 二項演算、半群、モノイド
P2
（問題）
22.など

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%8F%AF%E6%8F%9B%E6%95%B4%E5%9F%9F
非可換整域
(抜粋)
環論と呼ばれる抽象代数学の一分野における（非可換[注釈 1]）整域あるいは域（いき、英: domain）とは、右または左零因子を持たない（つまり ab = 0 ならば a = 0 または b = 0 が成り立つ[2]、零積律（英語版）を満たすとも言われる）環のことを言う。

群環と零因子問題
群 G と体 K に対して、群環 R :=K[G] は域となるかを考える。恒等式
(1-g)(1+g+・・・ +g^(n-1)=1-g^n
から有限な位数 n を持つ元 g から R の零因子 1 - g が得られる。
零因子問題（カプランスキーの零因子予想）とはこれ以外の方法で零因子が得られないかどうかを問うものである。即ち、
零因子問題
与えられた体 K と捩れのない群 G に対して、「群環 K[G] は零因子を含まない」という主張は真であるか
今のところ反例は知られていないが、問題は一般には未解決のままである（2007年現在）。

様々な特定の群のクラスについては肯定的に解決されている。Farkas & Snider (1976)は「G が捩れの無い多重巡回×有限（英語版）群 (polycyclic-by-finite group) で K が標数 char?K = 0 の体ならば群環 K[G] は域を成す」ことを証明した。後に Cliff (1980) が体の標数に関する制限を取り除いている。Kropholler, Linnell & Moody (1988) はこれらの結果を捩れの無い可解群および可解×有限群の場合にまで一般化している。それより早く Lazard (1965) の成した研究は（その重要性は20年もの間この分野の専門家に省みられることは無かったが）、K が p-進整数環で G が GL(n, Z) の p-次合同部分群（英語版）である場合を扱っていた。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/321

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.039s