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現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 (548ﾚｽ)
現代数学の系譜 カントル 超限集合論他 3 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/
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497: １３２人目の素数さん [] 2021/11/24(水) 00:07:10.44 ID:cUOVrA71 >>401＆>>405(添字付与)より再録と補足 多重シングルトン関数 fsz：n→{{･･{{{}0}1}2･･}n-1}n n∈N+ω とする（N：自然数の集合） 対応は 数→ Zermelo → Neumann 0重 : {}0 → {}(注：{}0＝{}＝φで空集合) 1重 : {{}0}1 → {0} 2重 : {{{}0}1}2 → {0, 1} 3重 :{{{{}0}1}2}3 → {0, 1, 2} ・ ・ n重 :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1} ・ ・ ω重 :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす) （注：n重は、空集合{}0＝{}＝φに対する{}のネスト深さ意味する） ここで n :{･･{{{}0}1}2･･} → {0, 1, 2,･･,n-1} ・ ・ の部分は、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのものだ つまり、∀n∈N でｎは有限だが、列・・の部分は無限長 それは、数、Zermelo とNeumannの3者とも共通だ で最後の ω :{･･･{{{}0}1}2･･･}ω → {0, 1, 2,･･,n-1･･･} (注：･･･の部分は全ての自然数を尽くす) で、”･･･”の部分も、無限集合たる自然数Nのもつ性質そのもの これが良いとか悪いとか 全くおかしな議論です そもそもが、無限公理まで導入して、無限集合たる自然数Nを作ったのは 全ての自然数を尽くす列 0, 1, 2,･･,n-1･･･ を作るためだったはず （それが出来れば、整数環Z→有理数体Q→(Qのコーシー列から)実数体R が構築できるのです） ”･･･” の部分が出来たら、 それが良いとか悪いとか 全くおかしな議論です つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/497
498: １３２人目の素数さん [] 2021/11/24(水) 00:09:24.46 ID:cUOVrA71 >>497 つづき いま、下記の砂田利一先生の「実無限」と「可能無限」の意味を少しもじって 可能無限：限りがないという状態で、nに対しn+1（つまり後者）がずっと続く状態 実無限：無限集合N＝ωが出来た状態（例えば無限公理を使って） としよう N＝ω＝{0,1,2・・n・・}は、実無限 カッコ{}を外すと、0,1,2・・n・・ は、可能無限 この区別がついていない 0,1,2・・n・・ なる可能無限状態は厳然と存在する。それは、古代ギリシャの昔からね わざわざ無限公理を使うのは、現代数学が古代ギリシャを超えて進んでいくためです 0,1,2・・n・・ なる可能無限状態が、理解できない人がいる その人は、現代数学が理解できず、よって古代ギリシャをさえ超えられないことになるよｗ (>>334より再録) https://mathsoc.jp/publication/tushin/2104/2016sunada.pdf 数学の発展と展望? 明治大学総合数理学部 砂田 利一 この文章は 2016 年 9 月 19 日に関西大学で行った日本数学会 70 周年記念講演に基づいている． 2 無限の概念 ここで，カントルの理論の背景にある，無限概念についての歴史を振り返ろう． 無限を最初に扱ったのは，古代ギリシャのアナクシマンドロス（前 610 頃?前 546 頃） である．彼は「アペイロン」（限りがない）という概念を導入し，それを万物の根源（ア ルケー）とした．その後アナクサゴラス（前 510 頃?前 428 頃）により「無限大，無限小」 について語られたが，19 世紀後半まで歴史の中で大きな影響を与えたのはアリストテレ ス（前 384?前 355）である．彼は，無限には「実無限」と「可能無限」の 2 種類があっ て，可能無限は認められるが，実無限は存在しないと考えた．カントルの集合論は，ま さにアリストテレスに対するアンチテーゼなのである． 念のため，「実無限」と「可能無限」の意味を与えておく． 可能無限：無限を把握出来るのは，限りがないということを確認する操作が 存在していることだけで，無限全体というのは認識出来ないとする立場 実無限：無限の対象の全体性を把握して，無限が実際に存在しているとする立場 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595034113/498
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