[過去ﾛｸﾞ] Inter-universal geometry と ABC予想 50 (1002ﾚｽ)
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724(6): 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/04/19(日)21:53 ID:ijGx7lvx(21/27) AAS
>>720
>「Grothendieck宇宙は同型を除いて一意。したがってinter-universalはあり得ない」（ドヤ顔）
とどめを刺すか？（＾＾
１．グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）（下記）
２．グロタンディーク宇宙は、下記のグロタンディーク宇宙公理と、ＺＦＣ＋到達不能基数 を公理とする、2つの道がある
３．この2つは、出発点は同じだが、いわゆる同型を除いて一意と考えられる（∵ 実際には、集合論のためのモデルを与える から）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
グロタンディーク宇宙 （数式文字化けご容赦）
数学におけるグロタンディーク宇宙（英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck）は次の性質をもった集合 U である[1]：
１．x ∈ U, y ∈ x ⇒ y ∈ U（ U は推移的集合）
２．x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U
３．x ∈ U ⇒ x のベキ集合 P(x) ∈ U
４．{\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}\{x_\alpha\}_{\alpha\in I}が U の元の集合で I ∈ U ⇒ {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}\bigcup_{\alpha\in I} x_\alpha ∈ U
特に、最後の公理は U が空集合でなければ、その有限部分集合のすべてと、それら各々の濃度を部分集合として含んでいなければならないことを意味する。このことは、任意の宇宙の類の共通集合が宇宙であるという定義から直ちに証明することが出来る。
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合
・すべての遺伝的有限集合 の集合 {\displaystyle V_{\omega }}V_\omega 。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
つづく
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