Inter-universal geometry と ABC予想 50

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690: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/04/19(日) 17:10:48.91 ID:ijGx7lvx

>>684 補足

IUTの「宇宙」”universes”:
"of relating the distinct set-theoretic universes associated to the distinct fiber functors/basepoints on either side of such a non-ring/scheme-theoretic filter
- that we refer to as inter-universal. "
って、「宇宙」は、厳密には 大げさすぎる気がする（＾＾

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS Shinichi Mochizuki April 2020
(抜粋)
Introduction
P21
§I3. Basepoints and Inter-universality
In particular, the only data that can be considered in relating ´etale fundamental groups on either side of a filter is the ´etale-like structure constituted by the underlying abstract topological group associated to such an ´etale fundamental group,
i.e., devoid of any auxiliary data arising from the construction of the group “as an ´etale fundamental group associated to a basepoint determined by a geometric point of a scheme”.
It is this fundamental aspect of the theory of the present series of papers - i.e.,
of relating the distinct set-theoretic universes associated to the distinct fiber functors/basepoints on either side of such a non-ring/scheme-theoretic filter
- that we refer to as inter-universal.
This inter-universal aspect of the theory manifestly leads to the issue of considering the extent to which one can understand various ring/scheme structures by considering only the underlying abstract topological group of some´etale fundamental group arising from such a ring/scheme structure
- i.e., in other words, of considering the absolute anabelian geometry
[cf. the Introductions to [AbsTopI], [AbsTopII], [AbsTopIII]] of the rings/schemes under consideration.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586907848/690

691: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/04/19(日) 17:18:56.59 ID:ijGx7lvx

>>690 追加
つづき

また下記
[Note that this terminology differs from the standard terminology of category theory, but will be natural in the context of the theory of the present series of papers.]
[なお、この用語はカテゴリー理論の標準用語とは異なるが、今回の一連の論文の理論の文脈では当然のことであろう]
まあ、こういうところ、「独善」と紙一重だろうね〜（OP氏がいうのはこういうところかも） ｗ（＾＾；

なお、
”an “isomorphism C→D” is precisely an “isomorphism in the usual sense”of the [1-]category constituted by the coarsification of the 2-category of all small 1-categories relative to a suitable universe with respect to which C and D are small.”
で
「relative to a suitable universe」も、当初の”universe”定義による用語の使い方として、整合しているのかどうかだね〜？（＾＾；
（先のは、集合論の”universes associated to the distinct fiber functors/basepoints on either side of such a non-ring/scheme-theoretic filter”だったのにね。まあ、重箱の隅とは思うが ）

P33
Section 0: Notations and Conventions
Monoids and Categories:

We shall refer to an isomorphic copy of some object as an isomorph of the object.
If C and D are categories, then we shall refer to as an isomorphism C→D any isomorphism class of equivalences of categories C→D.
[Note that this terminology differs from the standard terminology of category theory, but will be natural in the context of the theory of the present series of papers.]
Thus, from the point of view of “coarsifications of 2-categories of 1-categories”
[cf. [FrdI], Appendix, Definition A.1, (ii)],
an “isomorphism C→D” is precisely an “isomorphism in the usual sense”of the [1-]category constituted by the coarsification of the 2-category of all small 1-categories relative to a suitable universe with respect to which C and D are small.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586907848/691

695: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/04/19(日) 17:55:27.83 ID:ijGx7lvx

>>692

wikipediaを引用するなら、>>685の粋蕎 さんの引用（下記）が適当だろう
下記では、1)ベン図のU、2)通常の数学の例えばSN、3)集合論のフォン・ノイマン宇宙 V、4)圏論のグロタンディーク宇宙
と、４つ解説されている
では、望月IUTの「宇宙」とは？　まさか、ベン図のUとか下記SNではない
集合論のフォン・ノイマン宇宙？ 圏論のグロタンディーク宇宙？
”INTER-UNIVERSAL”だから、最低2つ宇宙がいるけど、どれとどれだい？？ｗ（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
宇宙 (数学)
(抜粋)
集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。

ある特定の文脈において
おそらく最も単純なバージョンは、研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。
これは1870年代から1880年代にかけてゲオルク・カントールが実解析の応用として、初の現代的な集合論と濃度の開発に用いた宇宙である。
カントールが当時興味を持っていた集合は、R の部分集合だった。
この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。 ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。
一般的に集合が U の部分集合であれば、それは円によって表現される。

通常の数学
物事を単純に保つために、自然数の集合 N は所与として SN を形成し、N 上の上部構造をとってもよい。これはしばしば通常の数学の宇宙であると考えられる。通常研究される数学のすべてはこの宇宙の要素を参照していると考えるということである。例えば、普通の実数の構成（デデキントの切断）はどれも SN に属している。超準解析も自然数の超準モデル上の上部構造において行うことができる。
宇宙が関心のある任意の集合 U であった前節からの哲学のわずかな転換に注意しよう。研究される集合は、前節では宇宙の部分集合であったが、本節では宇宙の要素である。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586907848/695

714: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/04/19(日) 20:40:59.04 ID:ijGx7lvx

>>709
>＞「その中に別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” 」
>＞なら、inter-scheme logic が素直だろ？
>論をlogicって訳す馬鹿　はじめてみた
>theoryって言葉　知らんのか？

はい
じゃ、問題
「その中に別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” 」
を数学用語を使って訳せ！ （和文英訳）
但し、望月論文表題 ”INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I ”の表題に使えるようにせよ！
"theory"を使ったら、下記の”TEICHMULLER THEORY”と用語がダブるぜ？　どうすんだよｗ（＾＾

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS Shinichi Mochizuki April 2020

>>710
>グロタンディーク宇宙が一つとか、大丈夫か君

そっくりお返しするよ
山下氏 （>>699より）
Q2. じゃあ, 宇宙を取り替えるってどういう意味？
A2. 宇宙際 Teichm¨uller 理論では, 環構造そのものを変形します.
スキーム論とは環論だと思うと, by definition でスキーム論が通用しない局面がしばしば出てくるということです.
一方のスキーム論での操作や基点などを他方のスキーム論にもちこむことはできません.
一方での恣意的なラベル付けが他方では通用しない, それは “宇宙を取り替える” ということではないか, という意味で使っています.
厳密な意味での Grothendieck 宇宙を取り替えると考えてもいいですし,
数学基礎論的に厳密な観点からはあくまで 1 つの Grothendieck 宇宙の中で考えて
その中に別々にスキーム論があって, それを取り替えることを “宇宙を取り替える” という言葉で表現していると考えてもいいです.
(引用終り)

の説明だと、「INTER-UNIVERSAL」と説明が整合しないぜ
”UNIVERSAL”が、Grothendieck 宇宙とするならば
”INTER-”って、どうなるの？ｗ

”INTER-”だったら、”UNIVERSE”が2つ要る
で、取り替えるんだろ？
グロタンディーク宇宙が2つあって、取り替える？ｗ（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586907848/714

724: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/04/19(日) 21:53:28.99 ID:ijGx7lvx

>>720
>「Grothendieck宇宙は同型を除いて一意。したがってinter-universalはあり得ない」（ドヤ顔）

とどめを刺すか？（＾＾
１．グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）（下記）
２．グロタンディーク宇宙は、下記のグロタンディーク宇宙公理と、ＺＦＣ＋到達不能基数 を公理とする、2つの道がある
３．この2つは、出発点は同じだが、いわゆる同型を除いて一意と考えられる（∵ 実際には、集合論のためのモデルを与える から）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙 （数式文字化けご容赦）

数学におけるグロタンディーク宇宙（英: Grothendieck universe、仏: Univers de Grothendieck）は次の性質をもった集合 U である[1]：
１．x ∈ U, y ∈ x ⇒ y ∈ U（ U は推移的集合）
２．x, y ∈ U ⇒ {x, y} ∈ U
３．x ∈ U ⇒ x のベキ集合 P(x) ∈ U
４．{\displaystyle \{x_{\alpha }\}_{\alpha \in I}}\{x_\alpha\}_{\alpha\in I}が U の元の集合で I ∈ U ⇒ {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}x_{\alpha }}\bigcup_{\alpha\in I} x_\alpha ∈ U
特に、最後の公理は U が空集合でなければ、その有限部分集合のすべてと、それら各々の濃度を部分集合として含んでいなければならないことを意味する。このことは、任意の宇宙の類の共通集合が宇宙であるという定義から直ちに証明することが出来る。
宇宙のアイデアは、アレクサンドル・グロタンディークが代数幾何において真のクラスを回避する方法として導入したことに起因する。
グロタンディーク宇宙は、すべての数学が実行可能な集合を与える（実際には、集合論のためのモデルを与える）。

グロタンディーク宇宙と到達不能基数
グロタンディーク宇宙の2つの簡単な例がある:
・空集合
・すべての遺伝的有限集合 の集合　{\displaystyle V_{\omega }}V_\omega 。
他の例は構成がより困難である。大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586907848/724

731: 現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/04/19(日) 22:15:33.08 ID:ijGx7lvx

>>728
>グロタンディーク宇宙もひとつだけにできるかも知らないけど、不自然な発想になるから、色々と取り替えるんじゃないのか

「グロタンディーク宇宙を複数作って、取り替える」は、ないな、多分
　>>690 より、下記の記述ですな（＾＾；
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf
INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY I: CONSTRUCTION OF HODGE THEATERS Shinichi Mochizuki April 2020
(抜粋)
Introduction
P21
§I3. Basepoints and Inter-universality

It is this fundamental aspect of the theory of the present series of papers - i.e.,
of relating the distinct set-theoretic universes associated to the distinct fiber functors/basepoints on either side of such a non-ring/scheme-theoretic filter
- that we refer to as inter-universal.
This inter-universal aspect of the theory manifestly leads to the issue of considering the extent to which one can understand various ring/scheme structures by considering only the underlying abstract topological group of some´etale fundamental group arising from such a ring/scheme structure
- i.e., in other words, of considering the absolute anabelian geometry
[cf. the Introductions to [AbsTopI], [AbsTopII], [AbsTopIII]] of the rings/schemes under consideration.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586907848/731

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