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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む83 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/
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377: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2020/02/13(木) 14:25:43.87 ID:Di2gg/DV >>376 つづき さて、上記から見ると、オイラー定数γのうち、後半の -ln(n) 部分は初等関数なので、比較的素性は分かっているとして 調和数 Hn について、初等的かつ簡単な考察をしてみる １．いま、γが有理数か無理数かの問題なので、Hnの小数部分に注目する FR(x)＝x-[x] という関数を考えよう。 [x]は、いわいる階段関数で、実数ｘに対し、ｘを超えない最大整数とする（ガウス記号）で、x 正として FR(x)＝x-[x] は小数
部分を表す ２．FR(Hn)＝Hn-[Hn] は、その式の形から、ｎ有限で有理数であって、分子/分母 の形になることは自明 分母に着目すると、単純に通分して、1*2*3・・・n となるが、一方 オイラー積を考えると 近似としては、分母は Πpi とできるだろう（素数の積で、 i＝1〜m ここに、piはn以下の素数の全て) ３．いずれにせよ、nが大きくなると、分母に来る素数piも増えて、FR(Hn)は循環小数として、周期がどんどん長くなる n→∞では、周期も無限大になり、無理数になると予想される その出自から、有限次数の代数方程式の根なるとも思え
ないから、おそらくは超越数 ４．同様に、後半のFR(ln(n))＝ln(n)-[ln(n)] を考察すると、任意 n>=2で超越数なので（下記 リンデマン） n→∞でも、超越数になると予想される ５．そうすると、オイラー定数γは、全く出自の違う ２つの数 FR(Hn)-FR(ln(n)) が n→∞で、超越数t1−超越数t2 となると予想される 直感的に、t1−t2 が有理数となるとすれば、t1とt2との間に、何か特別な関係があるはずと予想される 逆に、t1とt2との間に、特別な関係がないと予想されるならば、普通は超越数になるだろうと予想される ６．あるHnの
n→∞の極限の値が、Riemann Hypothesisと等価だというから、数学的には Hnが 数学的に深い存在でしょう ということは、FR(Hn)-FR(ln(n)) が有理数であるという証明は、簡単に済むとは思えないのです（＾＾； もし、γが 有理数にしろ、無理数にしろ、はっきりするとすれば、調和数 Hnの深い研究から出てくる気がする ７．なので、γを直接狙わずに、調和数 Hnの方から攻めた方が、 論文ネタも多くあるだろうし、結果として、遠回りに見えて近道かもしれないと思う今日この頃（＾＾； つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/15812
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