現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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746: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/17(月) 07:26:20.56 ID:tibq+GyR

>>719
＞有限と無限は異なるものだからその差(違い)は何か？

レーヴェンハイム?スコーレムの定理をご存知でしょうか？ｗ（＾＾；
「定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す」ｗｗ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%82%A4%E3%83%A0%E2%80%93%E3%82%B9%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
レーヴェンハイム?スコーレムの定理
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。
そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
定理の上方部分の証明は、いくらでも大きな有限のモデルを持つ理論は無限のモデルを持たねばならないことをも示す。この事実を定理の一部とする場合もある。
例と帰結
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた。
例えば、真の算術 (true arithmetic) には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ。
さらに悩ましかったのは、「集合論の可算なモデルの存在である。それにもかかわらず、集合論は実数が非可算である」という文を満たさなければならない。
この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/746

749: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/17(月) 07:43:25.38 ID:tibq+GyR

>>746 補足

＜ちょっと思いついたので書いておく＞
さらに、時枝の可算無限数列のシッポの同値類は、それぞれ、共通のシッポを持つことが、コンパクト性定理から言える
証明の筋は、下記の”４色定理と無限地図”に同じ
つまり、同値類内の任意の有限部分を取ると、これらは共通のシッポを持つ（∵推移律）
よって、コンパクト性定理より、1つの同値類全体でも、共通のシッポを持つ
コンパクト性定理は、非可算集合に対しても成立する
QED

（>>262より）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋
坪井明人 筑波大
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ
(抜粋)
第 2 章 モデル理論の基礎 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 ４色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする．このとき次は同値
である：
1. T はモデルを持つ；
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ．
証明. 1 ⇒ 2 は自明である．2 ⇒ 1 の対偶を示す．

2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．
T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理
(抜粋)
歴史
1930年にゲーデルが可算集合の場合について証明した。非可算の場合については、Anatoly Maltsevが1936年に証明を与えた[1][2]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/749

753: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/17(月) 07:53:46.86 ID:tibq+GyR

>>749 補足

＜これも思いついたので書いておく＞
１．時枝の決定番号を、下記の超自然数の集合 *Nに埋め込む
２．共通のシッポの決定番号は、無限大超自然数 ωになる
　∵ 背理法による。もし、共通のシッポの決定番号が有限ｍとする
　しかし、必ずｍ＋1となる可算無限数列Aが、どの同値類内に存在する
　Aは、同値類内の全ての元と同値（〜）になるので、ｍ＋1になる部分を、共通のシッポに取り直せる
　これは、共通のシッポの決定番号が有限ｍであったことに矛盾する
　この矛盾は、決定番号が有限ｍとしたことに起因する
QED

（>>321より）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．

次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/753

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