現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む83

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259: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/11(火) 23:48:37.30 ID:CB29Ozfy

>>218
>そして、The Riddleにしろ The Modificationにしろ 時枝記事にしろ
>結局、>>22 (これ>>33と同じ) の １列の場合の
>＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞
>が、L→∞の極限で不成立なら、全滅ですね

昔読んだ話が、物理学で若い研究者が研究発表をしたところ、前列に座っていた大物物理学者が
「その式はおかしい」とずばり指摘し、書き間違いがあったという

初めて聞いた発表で、大物物理学者が
間違いを指摘できたのは、極限を考えたからだという

物理学では、例えば量子力学は、プランク定数h→0の極限で、古典力学を再現すべきだとか
あるいは、特殊相対性理論で、v/c＝〜0で、古典力学と一致する（cは光の速度です。c→∞が古典理論だと考えても良い）

極限を考えることは、物理学では結構普通ですが、
数学でも非常に有用です！（＾＾；

https://www.mathsoc.jp/outreach/2019haru/kato20190317.pdf
力学の変遷 ー古典・量子・弦ー
加藤晃史 (東京大学 数理科学研究科)
日本数学会 市民講演会 於東京工業大学
2019 年 3 月 17 日
(抜粋)
P66
対応原理
Niels Bohr が提唱した一つの指導原理：
プランク定数 h を 0 にする極限で、 量子力学は古典力学を再現
する。
lim h→0 ( 量子論的な量 ) = ( 古典論での量 )
いいかえると、
h をパラメータとして古典力学を
変形した理論が量子力学である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
特殊相対性理論
(抜粋)
ガリレイの相対性原理と特殊相対性原理
ローレンツ変換の式(L4)式において、v/c＝〜0 とすると、(L4)式は
ガリレイ変換に一致する。
すなわち、このことからニュートン力学近似とは、慣性座標系間の相対速度 v が光速 c と比べて十分小さい場合の理論であると言うことがいえる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/259

261: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 00:05:04.73 ID:8axgfTbD

>>260
追加
http://m-hiyama.hatena（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)
2005-12-07
コンパクト空間と論理／モデル論
(抜粋)
[前置き]だいぶ前に（だいたいは）書いてあったものだけど、今が“あげどき(time to upload)”かな、と思うので、長いけど日記エントリにします。[/前置き]
ハウスドルフ空間のコンパクト性は、解析で重要な概念だが、論理や代数幾何でも（解析とはまた違った感じで）コンパクト性は大事。こっち（解析じゃない）方面では、非ハウスドルフなコンパクト空間も出てくる。
[追記 date="12-08"]（閉集合の和に関する記述を忘れていたので追加。）[/追記]

内容：
モデルの空間
論理式が定義する関数
位相空間としてのモデル空間
補足または蛇足 -- 推論の練習
コンパクト性定理
モデル空間のコンパクト性

コンパクト性定理
モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
これは、Aが有限のときは面白くない。論理式の無限集合に対して成立するのがすごいところだ。

論理式の集合が「矛盾する」とはモデルを持たないことだと“定義”すれば、コンパクト性定理は次のことを言っている。

Aが矛盾する ⇔ Aの有限部分集合で矛盾するものがある
つまり、矛盾が生じる原因が「公理が無限個だから」ということではなくて、無限のなかの有限個で既に矛盾が生じているのである。矛盾の原因を有限個の論理式として（超越的／原理的には）特定できることになる。

応用としては、例えば、普通の自然数に加えて無限大自然数をたくさん（ものすごくたくさん）入れても、矛盾なく自然数概念が定義できる（モデルが存在する）、とかを示せる。こうしてできるモデルは、超準自然数系だが、実際に構成するにはウルトラフィルター／ウルトラ積を使う。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/261

262: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 00:16:55.54 ID:8axgfTbD

>>260
＞【コンパクト性定理】を否定するのは、無理ゲーでしょ（＾＾；

追加
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
ロジックの部屋
坪井明人 筑波大
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学ＩＩ
第 2 章 モデル理論の基礎 21
2.1 構造と同型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 応用例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 ４色定理と無限地図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 順序集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

定理 53 (コンパクト性定理). T を閉論理式の集合とする．このとき次は同値
である：
1. T はモデルを持つ；
2. T の任意の有限部分集合 T0 はモデルを持つ．
証明. 1 ⇒ 2 は自明である．2 ⇒ 1 の対偶を示す．

2.5 応用例
2.5.1 ４色定理と無限地図
平面内に書かれた有限個の国を持つ地図は，４色を用いて隣国が同じ色にな
らないように塗り分けられる（ Kenneth Appel and Wolfgang Haken）．実は
この４色定理は無限個の国を持つ地図でも成立する．このことはコンパクト性
定理を使うと簡単に分かる．

T がモデルを持つことを示せば十分である．コンパクト性定理により，T の
各有限部分がモデルを持つことを示せばよい．しかし，それは有限地図 (有限
グラフ) に対する４色定理から明らかである．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/262

291: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 08:04:40.98 ID:8axgfTbD

>>32
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時枝さん、あの記事で４つくらい外している
1つは、確率変数の無限族の独立性
スレ20 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/538
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ

も1つは、非可測の話
時枝さん、ヴィタリの話をしているが
本当は、ジムの数学徒氏（>>6）が言った下記なんだ
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/271
”確率論の公理の要請に反してしまう”ってこと

さらに、時枝氏自身が、あの記事の前半の戦略が不成立であることを
しっかりと認識しないで、
そこをぼかして書いたこと

あと、追加で>>22 >>211 に書いているが、下記の＜時枝記事の可算無限数列の数当て定理 ”もどき”＞不成立
スレ80 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578091012/51
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事
(引用開始)
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/291

309: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 11:55:42.43 ID:Qa5sLjJG

メモ

https://gendai.ismedia.jp/articles/-/69975
鶴亀算で誰でも体感できる数学の「威力」と「限界」
抽象性の「恐ろしさ」を見極めるには
竹山 美宏筑波大学数理物質系教授 講談社 20200204
(抜粋)

https://gendai.ismedia.jp/articles/-/69975?page=2
抽象性と汎用性
抽象的な数学の話を突然はじめたので、やや難しく感じたかもしれない。たしかに、抽象的であることは数学の難しさの要因ではある。しかし、同時に強みでもあるのだ。

たとえば、数学には数列の漸化式を扱うためのさまざまな手法がある。その手法は、定期預金でも花粉症の薬でも、数列の漸化式で記述される状況でさえあれば、具体的な文脈によらず使える。

https://gendai.ismedia.jp/articles/-/69975?page=5
数学の怖さを知るということ
私自身は、正直に言うと、現実世界の問題から数理モデルをつくった経験がほとんどないし、純粋に数学で書かれた問題を扱うほうが慣れている。

数学者になること、もしくは、数学を趣味にすることが目的なのであれば、それでもよいかもしれない。学問としての数学を発展させる原動力は、やはり楽しさであるから、数学そのものから喜びを得られるのであれば、それを追求するのがよいのだろう。

しかし、たとえ数学を楽しめなくても、数理モデルがつくられるプロセスを知ることには、大きな意味があると思う。なぜなら、鶴亀算の解法が「鶴の立ち姿の美しさ」などを考慮に入れないように、数理モデルが記述するのは現実世界のすべてではなく、一部分だからである。

数理モデルを通して、数学は私たちの生活や社会に影響を及ぼす。

数理モデルの作成者は、自分の目的に応じて考慮すべき量や関係を設定する。本稿で挙げた三つの例題は、問題を解く練習をするためのものだから、数理モデルのつくり方に選択の余地はほとんどない。

しかし、現実世界の問題を解く場面では、作成者によって数理モデルは異なり得る。そして、作成者の偏見が埋め込まれた数理モデルが大きな影響力をもつと、私たちの社会は壊れてしまいかねない。

有害な数理モデル
この点について、冒頭で紹介した『あなたを支配し、社会を破壊する、AI・ビッグデータの罠』から例をひとつ挙げよう。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/309

318: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 13:51:10.81 ID:Qa5sLjJG

>>313
>２つの自然数 a=b
>aとbは同じ数字を違う文字で表記してるんですか？

自然数は大きな問題はないが
実数になると、超越数とかが入ってくる
そうすると、複雑になります。有理数でも小数展開したとき、二通りの表現ができる
例えば、>>303より "1.000・・・＝0.9999・・・"
逃げるわけじゃないが、下記PDFでもどうぞ

（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに 1 を足せば，
より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このよう
な無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられて
きました（いわゆる「無限小解析」）．その後 19 世紀に入り，厳密さを備えた ε-δ 論法
が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．
超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱
う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた
無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を
構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
目 次
1 イントロダクション 2
1.1 記号の復習             3
2 実数 R の構成 4
2.1 ε-δ 論法による収束の定義          . 4
2.2 コーシー列を用いた実数 R の構成         5
3 超実数 *R の構成 8
3.1 基本的な考え方と問題点          . . 9
3.2 フィルターと超フィルター          . 10
3.3 超積を用いた超実数 ?R の構成         . . 12
4 超実数を用いた解析学の展開 15
4.1 数列の収束             15
4.2 連続関数             . . 18
5 超積とフォンノイマン環 21
5.1 関数解析とフォンノイマン環          21
5.2 フォンノイマン環の超積とその応用        . . 23

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/318

321: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2020/02/12(水) 16:01:35.27 ID:Qa5sLjJG

>>318 補足

下記、磯野優介先生
”注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．”

なるほど
この超準解析の視点は、時枝記事の戦略のトリックを端的に突いている気がする
つまり、「数列の ∞ 番目が同じ数」というのが、
時枝記事の戦略のトリックを支えるキーだと看破しているような記述だね（＾＾；

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日〜8月3日開催
超準解析入門
−超実数と無限大の数学−
磯野優介
数学入門公開講座
平成 29 年 7 月 31 日〜8 月 3 日
(抜粋)
P15-16
4 超実数を用いた解析学の展開
4.1 数列の収束
定義 4.1. 超実数 α が超自然数であるとは，自然数からなる数列 (an)n を用いて α = (an)n
と書ける事である．この時もし α が無限大超実数ならば，無限大超自然数という．超自然数
の集合を *N で表す．以後は分かりやすさのため，超自然数は ω, λ 等の記号で表す事が多い．

次の定理は，数列の収束という ε-δ 論法における概念を，超実数のみを用いた条件に言い
換えるものです．
定理 4.7. 実数列 (an)n と実数 a ∈ R に対して，limn→∞ an = a である事の必要十分条件は
どんな無限大超自然数 ω に対しても aω =〜 a となる事である．
注意 4.8. この定理が証明されれば，最初から limn→∞ an = a の定義を，aω =〜 a が全ての
無限大超自然数 ω に対して成立する事としてもよい事になる．これは「数列の ∞ 番目がい
つも同じ数」という意味であり，より直感的な収束の定義である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581243504/321

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