現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む73

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867: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/07/31(水) 12:12:34.00 ID:/g9to0os

>>863
哀れな素人さん、どうもスレ主です。

> 0.33333……≠1/3の証明を僕は挙げているのに、
>お前はそれについてちっとも考えようとせず、
>定義の問題だと考えている（笑

" 0.33333……≠1/3の証明"は、>>803ですね
それも分かりますが、現代数学では、「一点コンパクト化」（下記）で、自然数を拡張して
" 0.33333……＝1/3”を理解します（多分（＾＾； ）

小学生や高校生向きではないですがｗ（＾＾
利口過ぎる小学生や高校生は、哀れな素人さんのように考えるかも知れませんね（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
(抜粋)
コンパクト化は数学の一分野である位相空間論の概念である

目次
1 概要
2 基本事項
3 アレクサンドロフの一点コンパクト化

概要
位相空間X のコンパクト化とは、X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。X を数学的に取り扱いやすいコンパクトな空間へ埋め込むと、X の性質を調べやすくする事ができる。

実応用上、こうした「付け加えた点」（すなわち  K＼i(X)の点）は直観的には無限の彼方にあるとみなせるケースが多いので、  K＼i(X) をコンパクト化  (K,i) の無限遠境界といい、無限遠境界上の点を無限遠点という事がある。

X をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある。したがって実用上はX の構造を保つなど、X の性質が調べやすくなるコンパクト化の方法を選ぶ必要がある

著名なコンパクト化の方法として、アレクサンドロフの一点コンパクト化とストーン・チェックのコンパクト化という両極端なものがある。前者はその名の通り、１点付け加えるだけで（コンパクトでない）任意の空間X をコンパクト化する方法である。これはいわば「最小の」コンパクト化

一点コンパクト化の例
・n次元ユークリッド空間 {R} ^{n} の一点コンパクト化は、n次元球面   {S} ^{n} と同相である。特にリーマン球面 {C}^ は複素平面   {C} の一点コンパクト化として与えられる。
・自然数全体（離散位相）   {N}  の一点コンパクト化は   {N} に最大元 ω を付け加えた順序集合   {N} ∪ ω の順序位相と同相になる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/867

943: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/08/01(木) 07:38:48.92 ID:3WolrY+P

>>936
(引用開始)
>867について
コンパクト ⇔ 完備 + 全有界 (⇔ 閉 + 有界)
コンパクト化？ 完備化？
0.33333… ->1/3 ∈ Q
(引用終り)
さて
１）リーマン球面の方へ目が行ったのかな？
２）そもそもは、哀れな素人さんの" 0.33333……≠1/3の証明"、>>803
”つまりどこまで割っても1/10^nの余りが出るのである。
　そしてｎ→∞のとき、1/10^n→0だが、
　これは1/10^nはかぎりなく0に近づくが0にはならない、
　略
　だから0.33333……はかぎりなく1/3に近づくが、1/3にはならない”
　について、n∈N で考える限りは、それは一つの理屈で、私も>>821に書いた通りで
　”利口過ぎる小学生や高校生は、哀れな素人さんのように考えるかも知れませんね”（>>867）ってこと
３）なので、1つの理解として、自然数全体N の一点コンパクト化で、N ∪ ω（>>867） と考えるのはどうかと言った
４）あと、”完備化？”としているけど、”稠密”（下記 コンパクト化 wikipediaより）じゃないの？
　”定義
　Xが位相空間 、K がコンパクトな位相空間、i:X → Kが中への同相写像であり、i(X) がK で稠密であるとき、K を 埋め込み写像 i による   X のコンパクト化という。”
　”例えばX を   R ^n 上の縁を含まない単位円盤  {x∈  R ^n ｜ |x|<1}としたとき、縁を含んだ単位円盤は包含写像を埋め込み写像とするX のコンパクト化である。一方半径3の縁を含んだ円盤をK とすると、X はKの中で稠密ではないので、Kは包含写像に対するX のコンパクト化ではない。”
５）なお、下記完備性ご参照 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7
　”数学における完備性（かんびせい、英: completeness）は、様々な場面においてそれぞれの対象に関して特定の意味を以って考えられ、またそれぞれの意味において完備（かんび、英: complete）でない対象に対する完備化 (completion) と呼ばれる操作を考えることができる。complete は「完全」と訳されることもある。
　・実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。”

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563282025/943

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