現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む44

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322: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/09(月) 15:19:36.31 ID:Lw7abe+X

>>321 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%A1%E3%83%87%E3%82%B9%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA
アルキメデスの性質
(抜粋)
数学におけるアルキメデスの性質とは、古代ギリシャの数学者シラクサのアルキメデスにちなんで名付けられた、実数の体系を典型的な例として一定の種類の群や体などいくつかの代数的構造が共通として持っている性質のことである。ふつう、アルキメデスの性質とは考えている体系の中に無限大や無限小が現れないこと、という意味で理解される。

順序体における定義

・xが無限大ならば 1/x は無限小であり、逆も成り立つ。したがって無限小の元を持たない順序体は無限大の元も持たないことになる。

順序体における同値な定義
順序体は有理数体を素体として、順序構造も込めた形で含む。このことを用いると順序体 K のアルキメデス性を以下のような命題のそれぞれによっても特徴づけることができる。[4]

１．自然数の集合はKの中で共終である。
　− つまり、Kの任意の元はある自然数よりも小さい。したがってアルキメデス的順序体とは自然数が非有界であるような体のことになる。
２．集合{1/2, 1/3, 1/4, …} は0をKにおける下限として持つ。
　− Kに無限小の正の元があれば0よりも大きい{1/2, 1/3, 1/4, …}の下界があることになる。）
３．Kにおける正の有理数と負の有理数の間にある数の集合は閉じている。
　− これがなりたつ場合、その集合は0一点からなる。非零の正の無限小の数があったとするとそれらには上限がないし、同様に非零の負の無限小の数は下限を持たない。
４．Kの任意の元xについて、xより大きな整数の集合は最小限を持つ
　− xが負の無限大ならばすべての整数がxよりおおきくなるため。
５．Kにおける任意の開区間は有理数を含む。
　− xが正の無限小ならば開区間 (x, 2x) は有理数を含まないため。
６．有理数の集合はsupおよびinfに関してKの中で稠密である。つまり、Kの任意の元 x に対して有理数の部分集合　A があってxはAの上限になっており、infについても同様のことが成り立つ。
　− したがってアルキメデス的順序体は有理数を稠密な部分集合とする拡大順序体になっている。

(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/322

323: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/09(月) 15:20:13.24 ID:Lw7abe+X

>>322 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
(抜粋)
超距離空間

しばしば非アルキメデス距離や super-metric などとも呼ばれる。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2
リーマン球面
(抜粋)
数学においてリーマン球面（リーマンきゅうめん、英語: Riemann sphere）は、無限遠点を一点追加して複素平面を拡張する一手法であり、ここに無限遠点
1/0 = ∞
は、少なくともある意味で整合的かつ有用である。 19 世紀の数学者ベルンハルト・リーマンから名付けられた。 これはまた、以下の通りにも呼ばれる。
・複素射影直線と言い、CP1 と書く。
・拡張複素平面と言い、C^ または C ∪ {∞} と書く。
純代数的には、無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成する。無限を伴う算術は、通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、拡張複素数全体は体を構成しない。しかしリーマン球面は、幾何学的また解析学的に無限遠においてさえもよく振舞い、リーマン面とも呼ばれる 1-次元複素多様体をなす。

演算
複素数の加法は任意の複素数 z に対して
z + ∞ =∞
と定義することで拡張され、乗法は任意の 0 でない複素数 z に対して
z ・∞ =∞
とし、
∞ ・ ∞ = ∞ と定義することで拡張される。
∞ + ∞, ∞ − ∞, 0 ・ ∞ は未定義のままであることに注意せよ。

複素数とは違って、拡張複素数は体をなさない。∞ は乗法逆元をもたないからだ。
それでもなお、C ∪ {∞} 上の除法を次のように定義するのが習慣である。
0 でないすべての複素数 z に対して
z / 0 = ∞
z / ∞ = 0,

∞/0 = ∞ そして 0/∞ = 0。
商 0/0 および ∞/∞ は定義されないままである。

(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/323

326: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/09(月) 15:30:46.08 ID:Lw7abe+X

>>310
>その場合は決定番号がどの値をとっても0を当てることが可能だということですね
>それでスレ主は何を根拠に数当てができないと言いたいの？

君はかなり分っているようだね

言いたいこと：
"40 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503706544/597-598時枝記事そのままの入れ方で、決定番号が、１からｎの間に来る確率は、０（ゼロ）の証明"(>>11より)
「つまり、決定番号が、１からｎの間に来る確率は、０（ゼロ）。
これは、各列共通で、どの列でも成り立つ。」

＜補足＞
１．一つの同値類をUとし、Uの部分集合で、代表数列rに対する代表番号dに関連した部分集合を考えよう
　U_1⊂U_2⊂・・⊂U_d⊂・・⊂U
　ここに、U_1は決定番号1の集合、U_2は決定番号2までの集合、U_dは決定番号1〜dの元の集合とする。
２．ここで、U_dを考えて、代表数列rで
　r＝ (r1，r2，r3 ，・・，r_d-1,r_d，r_d+1 ，r_d+2 ，・・)
　一方、任意の数列s∈U_dは
　s＝ (s1，s2，s3 ，・・，s_d-1,r_d，r_d+1 ，r_d+1 ，・・)
３．ここに、s_d-1とr_d-1とが一致して、決定番号がd-1に成る確率は０
　（∵ランダムに選んだ二つの実数が一致する確率は０）
４．同じことは、d+1など、dより大きい有限なすべての代表番号について成り立つ
５．従って、一つの同値類全体Uの場合、”決定番号が、１からｎの間に来る確率は、０（ゼロ）”が言える

これが言えると、”　D >= d(S^k) を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった”
”35 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/13 時枝問題（数学セミナー201611月号の記事）より”(>>11)
の仮定が成立しないのだった

なお、君はかなり分っているようだが、上記>>321-325 もご参照

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/326

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