現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む44

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48: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/03(火) 08:07:31.63 ID:Rt4aUYU1

沢口 昭聿先生
”函数要素の空間は通常の三次元空間とは別の構造をもつ.
後者は唯一の連結した全体をなすが,前者は無限に多くの二次元の層に分かれる.各層はそれ自身では連続的に連結した全体をなすが,お互いには結びつかない4)」”
は、層の視点か
https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/4/5_4_156/_article/-char/ja/
数学に於ける抽象の必然性 沢口 昭聿 科学基礎論研究 Vol. 5 (1962)

https://www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/5/4/5_4_156/_pdf
(抜粋)
リーマン面は学位論文では,はっきりした形で述べら
れてなく,唯第5節で,簡単に複素平面の上に幾重にも
重なった面を考え,その上に変数を動かすことを述べて
いるだけであるが,・・・

これはワイルの言によれば,彼が同時代の
人々に対して余りに異常な表象を要求する事を欲しなか

った為に,わざわざ真の意味を隠していたものとされて
いる.彼は,一般的にそうであるが,特に代数函数の研
究に於て,閉リーマン面を先ず考えて,その上の函数と
して代数函数を定める.この様にリーマン面を函数論の
第一の地盤とする彼の方法はやはりワイルの見方が正し
い事を示すものと言えよう.

リーマン面はリーマン自身
よりもワイヤーシュトラスのarlalytisches Gebildeに
よって精密化された.

解析接続により得られる函数要素の全体を解析函数と呼んだ.
更にこれに分岐点と極を加えたものをanalytisches Gebilde と呼んだ.
このことは函数関係で結ばれる二つの変数ｗ とzを一つの複素数のパラメーターtの整数巾の巾級数(負巾の項は有限個)で表わし,w=P(t),z=P'(t)とし,wとzを夫々tについて接続して得られる対(w,z)の全体を考える事である.
(w,z)はやはり函数要素と言われるが,wとzは解析的性質が接続により変らない故に初めの函数関係は常に保存されている.
従って,analytisches Gebildeにてはzとwの区別,即ち解析函数ではまだ保たれていた独立変数と従属変数の区別が廃棄されて,全く同等に取扱われていることがわかる.
従って,それはwとzの函数関係それ自身を客観化したものである.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/48

54: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/03(火) 20:39:20.63 ID:Rt4aUYU1

>>40 補足

ピエロ、この後の過去スレ42の126では、正解していたのに・・（＾＾
どうしたんだ・・？（＾＾

スレ42 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1505609511/95
(抜粋)
95 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む 2017/09/17(日) ID:xdoHcTHE

http://www.geocities.jp/mickindex/russell/idx_russell.html
バートランド・ラッセル Mick's Page
ラッセルの著作
「無限公理」(1904) 　初出は The Hibbert Journal, Vol.2。
　論理主義を支える公理の一つ「無限公理」についてのラッセル自身による解説。この論文を書いた時点で、ラッセルは無限集合の存在は証明可能だと考えていました。従ってこの論文でのラッセルの認識は、「無限公理」ではなく「無限定理」です。
(英) http://www.geocities.jp/mickindex/russell/rsl_AI_en.html 原文
(和) http://www.geocities.jp/mickindex/russell/rsl_AI_jp.html 訳：ミック 作成日：2004/09/01 最終更新日：2005/12/30
(抜粋)
　まず私たちは、数学的帰納法の原理2を証明する。帰納法の原理は、この分野においては、等々以外からはほとんど期待できないような役割を果たす。
この原理が述べるのは、0が任意の性質を持ち、かつ、n がその性質を持っているときに n + 1 もそれを持っているなら、全ての有限数がその性質を持つ、ということである。
この原理を使って、n が任意の有限数であるとき、0から n までの数の[個]数（両端を含む）は、n + 1 であることが証明される。すると結論として、n が実在するなら、n + 1 も実在することになる。
そして0は実在するのだから、数学的帰納法の原理から、全ての有限数が実在することが帰結する。あるいは、m と n が0以外の有限数であるならば、m + n は m とも n とも異なることも証明できる。
もし n が任意の有限数であるなら、n は　[ n までの]　有限数の[個]数ではない。なぜなら、0から n までの数の[個]数は n + 1 であり、n + 1 は n とは異なるからである。ゆえに、いかなる有限数も、その数までの[個]数ではない。
従って、基数の定義3より有限数の[個]数である[有限]数が実在することは明らかであることから、この数 n は無限数である。こうして、論理学の抽象の原理だけから、無限数の実在が厳格に論証された[1]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/54

57: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/10/03(火) 20:48:08.99 ID:Rt4aUYU1

>>56 補足

”無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる”
”ラッセルは無限集合の存在は証明可能だと考えていた”>>54
”デデキントの『数とは何か』”で”無限集合の存在証明”をした（下記 足立恒雄ご参照）が、現代では証明は誤りとされる
まあ、そういうことです（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90
(抜粋)
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。
(引用終り)

スレ19 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/353
(抜粋)
353 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/06/04(土)

http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo22/
第22回数学史シンポジウム
足立　恒雄　（ニュートン、オイラー、コーシーの数概念）*)注：この表題と下記のＰＤＦ表題とが不一致です
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo22/22_2adachi.pdf
デデキントの算術と再帰性定理 足立恒雄 第22回数学史シンポジウム(2011)
結語(抜粋)
デデキントの『数とは何か』の欠陥として，この他に無限集合の存在証明と無制限な内包性原理の使用が挙げられる.
現在では，無限集合の存在は公理とされ，また内包性原理は集合に対してのみ認めるという形になっているーつまり，
デデキントの考えたような，
「算術は人間の持つ普遍的な論理の合理性に還元できる」という考え方には無理があるということだろう.
そうした点を時代性として勘案すれば. 『数とは何か』は数学史上稀に見る名著と言えるだろう.

http://ci.nii.ac.jp/naid/40019257820
デデキントの算術と再帰性定理 (第22回数学史シンポジウム(2011)) 足立 恒雄 津田塾大学数学・計算機科学研究所報 -(33), 13-21, 2012
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/57

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