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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net (653ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/
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54: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/21(金) 07:45:08.74 ID:fI8jm0e8 >>52 どうも。スレ主です。 ご苦労さまです。たまに茶々入れしてくれたまえ。実は、>>53 を投下するとき、「埋め立て」だと言われ書けなかったんだ 「埋め立て」と言われればそうなんだが・・（＾＾ 何をやっているかと言えば、 >>18-19 から引用 ”18 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/04/20(木) 01:11:56.89 ID:Wvaf9XTt [1/2] 位数がnの巡回群をC_nであらわす。 位数がp^2のアーベル群は、C_p×C_p かC_p^2 かのどちらか。 位数がp^3のアーベル群は、C_p×C_p×C_p またはC_p×C_p^2または、C_p^3 のどれか。 ...などとなる。これらの中で巡回群になるのは一番あとの群だけ。 これは、群論の一般論から分かるし、もっと泥臭くも確かめられるだろう。 要は(Z/p^nZ)*の部分群でpべきの位数を持つものが、C_p^i のように巡回群であることを言うのが肝。 p=2の場合は例外。 19 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/04/20(木) 01:13:33.13 ID:Wvaf9XTt [2/2] モンスターが とか言ってるけど、たかがアーベル群の話なんて、それと比べたら 1+1=2 レベルの話だわｗ ” (引用終り) これ直感的には正しいと思うんだわ（＾＾； それの検証をしているんだ。どっかに同じことを書いているところがあるだろうと・・。自分で証明？ それは私のレベルでは無理だな（＾＾； これ証明は無理だが、正しそうということは分かる おっちゃんの>>23よりは、深いことを言っている・・（＾＾； おっちゃんの>>23の前半は、有限群論の目次を写した程度だからね その程度なら、私スレ主でも書ける・・（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/54
55: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/21(金) 14:37:12.79 ID:fI8jm0e8 >>54 で、検証つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E7%BE%A4 アーベル群 (抜粋) 数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、英: abelian group[注釈 1]）または可換群（かかんぐん、英: commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む[2][注釈 2]。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。 任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。 また任意のアーベル群は整数全体の成す環 Z 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群は非可換群（英語版）に比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。 目次 [非表示] 1 定義 2 例 3 性質 4 有限アーベル群 5 無限アーベル群 6 関連項目 7 注 7.1 注釈 7.2 出典 8 参考文献 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/55
112: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 10:25:19.42 ID:cvHfhso/ >>54 関連でヒットした。面白そうだからメモとして貼る http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf 類体論の源流. 三宅克哉 (東京都立大学理学研究科)数理解析研究所講究録 1998 (抜粋) 最後にクロネッカーの「数学的な業績」について1 点の注意を与えておく. 一般的に いえば, 何らかの業績が数学的なものとして評価されるためには, それが数学的に明確 に定式化され, 数学的な証明を具えなければならない. しかし, クロネッカーが書き残 したものでこの筋で触れたものの大半は, 必ずしも数学的に明確に定式化されてはおら ず, またそれに近い時点で彼によって数学的な証明が提示されたわけではない. したがっ て, 何を彼の数学的な業績とするかは, 場合によっては論議を呼ぶかも知れない. この 節であげた3 つの主張, 「クロネッカーーヴェ$-$ バーの定理」, 「クロネッカーの青春 の夢」および「単項化定理」は, いずれをとっても, 結局は他の人達によって多くの時 の積み重ねののちに証明された. これをもって「クロネッカーは幸運であった-I という のも1 つの評価であろう. しかし?方では, これら3 つの主張のいずれもが, 彼の先達 の数学から, いわば「時代の声」として自然に浮かび上がるものであるとは思えない. 例えば, それがクロネッカーの「数学的な未熟さ」ないしは「楽観主義」のもたらした ものであるとすることもできるだろう. それにしても, 彼がこれらの数学的な現象のい かほどを, いかように見ていたのか, 実に興味深いものがある. 高木はクロネッカーを 「預言者」と呼んでいる([T-19481 のp.261 の脚註) . http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/112
113: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/23(日) 11:32:49.73 ID:cvHfhso/ >>54 >位数がp^2のアーベル群は、C_p×C_p かC_p^2 かのどちらか。 >位数がp^3のアーベル群は、C_p×C_p×C_p またはC_p×C_p^2または、C_p^3 のどれか。 >...などとなる。これらの中で巡回群になるのは一番あとの群だけ。 >これは、群論の一般論から分かるし、もっと泥臭くも確かめられるだろう。 >これ直感的には正しいと思うんだわ（＾＾； >それの検証をしているんだ。 これやね（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/P-%E7%BE%A4 (抜粋) p-群 数学の特に群論において、与えられた素数 p に対する p-準素群あるいは、p-群（ピーぐん、英: p-group）もしくは準素群（じゅんそぐん、英: primary group）とは、任意の元の位数が p の冪になっているようなねじれ群をいう。すなわち p-群において、各元 g は非負整数 n を適当に選べば g の pn-乗が単位元に一致する。 有限群の場合には、それが p-群であることと、その群の位数 (つまり元の個数) が p の冪であることとは同値になる。 p-群の分類 位数の小さなp-群の分類としては、以下が知られている。 ・位数 p の群はただ 1 種類の可換群のみが存在し、それは巡回群 Cp と同型になる。 ・位数 p2 の群はちょうど 2 種類の可換群のみが存在し、それらは Cp2 または Cp × Cp と同型になる。たとえば、位数 4 の 2-群は位数 4 の巡回群 C4 または位数 2 の巡回群の直積 C2 × C2 であるクラインの四元群 V4 と同型になる。 ・位数 p3 の群は 5 種類あり、そのうちの 3 種類は可換、残りの 2 種類は非可換である。 ・可換なものは Cp3, Cp2 × Cp, Cp × Cp × Cp と同型になる。 ・非可換なものは p ≠ 2 のときは Cp × Cp の Cp による半直積および Cp2 の Cp による半直積として記述できる。前者は p-元体上の単三角行列全体の成す群 UT(3, p) として述べることもでき、有限ハイゼンベルク群と呼ばれる。p = 2 のときは、これら二種類の半直積はいずれも位数 8 の二面体群 Dih4 に同型で、その代わりもう一つ四元数群 Q8 が加わる。 ・位数 p5 の群はすべて累アーベル群（英語版）である[1]。 0 ? n ? 4 に対する位数 pn の群は群論の歴史の初期において分類が完了していたが[2]、 これらの結果の p7 を割る位数の群へ拡張する現代的な研究は既になされている[3]。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/113
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