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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net (653ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む30 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/
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151: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/24(月) 14:54:41.53 ID:1RdECzzL >>135 関連 >だから、ガウス流で、「(Z/p^nZ)*は位数がp^(n-1)(p-1)の群」の証明をやって、「ｍ＝s(p-1)とおいてるので、ｓはｐ＾iの形をしてます」とやれるような気がしてきた >ガウスってえらいね！（＾＾ https://www.amazon.co.jp/dp/4254114575 ガウス 整数論 (数学史叢書) 単行本 1995/6/1 カール・フリードリヒ ガウス (著), Carolo Friderico Gauss (原著), 高瀬 正仁 (翻訳) P29 種々の定理 38 【問題】与えられた正の数Aよりも小さくて，しかもAと素な正の数は何個存在するかを知ること. 表示を簡単にするために，与えられた数と素で，しかもそれよりも小さい正の数の個数を，その与えられた数の前に文字Φを置いて表わすことにしよう. 従って，求められているのはΦAである. I. Aが素数のときは， 1からAまでの数はすべて明らかにAと素である. それ故，この場合には，ΦA=A-1 である. II. Aがある素数の冪，たとえば=p^m のときは， pで割り切れる数はどれもAと素でない. よって、p^m-l個の数のうち， p，2p、3p、・・・、(p^(m-l)-_1)pを捨てなければならない. 従って， p^m-l-(p^(m-l)-1)個，すなわち p^(m-1) (p-1)個の数が残される. よって Φp^m=p^(m-l) (p-1) である. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/151
152: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/04/24(月) 15:18:56.28 ID:1RdECzzL >>151 関連補足 引用したガウス整数論は、もちろん既約剰余類群という用語は使ってないが（当時群という用語がなかった）、数学的内容 Φp^m=p^(m-l) (p-1) は、すっきり証明されている。 Φは、いまでいうオイラー関数で、ガウスもオイラーに由来することは、きちんと記している。 既約剰余類群との関係は、前スレ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/526 で紹介した http://www.epii.jp/articles/note/math/primitive_root 既約剰余類群と原始根 epii Last modified: 2016/05/16 22:31:02 より(抜粋) ”定義 2: 既約剰余類群 これを n を法とする 既約剰余類群[2]という。 Z/nZ の乗法に関する単元のみたすべき必要十分条件は n と互いに素であることである 難しいことをいっていますが、 これも先ほどのように平易に言い換えると「足し算は忘れろ！」「掛け算に関して逆元の存在しない元も忘れろ！」ということです。 上の定義の後半にもあるとおり、逆元の存在しない元とは nn とは互いに素でない元であり、かつそのときに限ります。 この証明は練習問題として残しておきます。 練習問題 1: Z/nZ の単元の満たすべき必要十分条件 n を 2 以上の自然数とし、a を整数とする。 このとき a?b=b?a≡1mod n となる b が存在するための必要かつ十分な条件は a と n が互いに素であること、 すなわち gcd(a,n)=1 であることを示せ。 必要であることは背理法を使ってすぐに示せると思います。 十分条件の方は少し難しい…というか前提知識が必要なので次のキーワードをあげておきます: 拡張された Euclid の互除法 ” (引用終り) だな。練習問題の証明は、私はまだ出来ていないが（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/152
165: ◆QZaw55cn4c [sage] 2017/04/25(火) 04:19:14.10 ID:DLnKrAsn >>151 ＞従って， p^m-1-(p^(m-1)-1)個，すなわち p^(m-1) (p-1)個の数が残される. ＞よって Φp^m=p^(m-1) (p-1) である. なるほど，すっきりしました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/165
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