[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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56(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/29(日)09:26 ID:SasjpBzo(5/14) AAS
>>55 つづき
さて、非加算零集合のカントール集合の扱いを参考にすると
”As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets,
it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Since it is also totally bounded, the Heine-Borel theorem says that it must be compact.”
ってところが使えそうだと
そこで、the Cantor set→任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48に置き換えて考えてみると
１）the complement of a union of open sets：yes
省10
57(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/29(日)09:47 ID:SasjpBzo(6/14) AAS
>>56 つづき
超越基底のルベーグ可測はyesについては、上でカントール集合にならって示した
さて、それが0についてだが
１．任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48が、ある有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする
２．簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[r-ε, r+ε](ｒは開球の中心)のルベーグ測度は、2εとなる
３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
省5
59(2): 2015/11/29(日)09:54 ID:2P6DAj1m(3/13) AAS
>>56
>５）compact：？ ３）に同じ
スレ主、超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。
63(1): 2015/11/29(日)11:39 ID:4wl9a+n9(1/5) AAS
>>56
>１）the complement of a union of open sets：yes
カントール集合はこのようして構成されるからyesだけど、
超越基底もこのように構成できるというならそれを示す必要がある。
結論から言うと答えはnoだと思う。
yesだと超越基底はコンパクトになってしまう。
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