[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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48(5): 2015/11/28(土)22:02 ID:V49WFVhA(8/8) AAS
>>44の
>そして、「超越基底Sの局在可能定理」が言えれば、実質、零集合の証明は終わっている
を読んで思ったんだけど、おっちゃんの数多ある証明の1つと、
スレ主の>>44の論法はかなり似通っているように見える。
要するにスレ主はこう考えているのではないか？
間違っていたら指摘してくれるとありがたい。
『任意の1次元開球U(ε)は超越基底を含む。
省5
49(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/28(土)23:37 ID:novsUjda(29/29) AAS
>>48
どうも。スレ主です。
ご指摘の通りです。そう考えてます
でも、、「超越基底Sが、可測集合か？」ってところが問題なのか
零集合は、必ずしもルベーグ可測には限らないようだが、ルベーグ可測と密接に関係している・・（下記）
いやー、むずいねー（＾＾；
「超越基底Sが、可測集合」が言えれば、”Given any positive number ε, there is a sequence {In} of intervals in R such that N is contained in the union of the {In} and the total length of the union is less than ε. ”みたいな論法が使えるかも（＾＾；
省10
50(1): 2015/11/29(日)00:06 ID:2P6DAj1m(1/13) AAS
>>49
wikiのゼロ集合の定義を改めて読んでみたところ、>>47-48の発言に自信が持てなくなってきた。
それはさておき、示すのは任意の超越基底がゼロ集合であることだ。
開区間Iε内で構成される超越基底のみを対象にしたのでは証明にはならない。
(事実、ゼロ集合の超越基底が存在することを示すのは簡単だ。)
スレ主の書き込みを読むと、この辺りをうまく記述する方法があるようだ。
スレ主の解答を楽しみにしています。
56(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/29(日)09:26 ID:SasjpBzo(5/14) AAS
>>55 つづき
さて、非加算零集合のカントール集合の扱いを参考にすると
”As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets,
it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Since it is also totally bounded, the Heine-Borel theorem says that it must be compact.”
ってところが使えそうだと
そこで、the Cantor set→任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48に置き換えて考えてみると
１）the complement of a union of open sets：yes
省10
57(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/29(日)09:47 ID:SasjpBzo(6/14) AAS
>>56 つづき
超越基底のルベーグ可測はyesについては、上でカントール集合にならって示した
さて、それが0についてだが
１．任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48が、ある有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする
２．簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[r-ε, r+ε](ｒは開球の中心)のルベーグ測度は、2εとなる
３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
省5
68(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/11/29(日)14:38 ID:SasjpBzo(10/14) AAS
>>66-67
どうも。スレ主です。
ありがとう
やっぱ、数学系の人は、思考が深いね（＾＾；
高校レベルで終わりとはいかない>>39
>有界であることは使っていいと思う。
正直、ルベーグ可測はあまり理解出来ていないが・・・
省12
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