[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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255(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:27 ID:H8eM6+Di(3/21) AAS
３．Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大では、陰に代数閉包、代数閉体の思想が潜んでいる
（言い換えれば、C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある。）
１）上記２で、n乗根を考えたが、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)なるn次方程式も考えるべき
２）そうすると、Q~(π)の代数閉包Q~(π)~を考えて、すべてのπのQ~上代数的な数を取り込んだ体を考えた方が良いだろう
３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大とは何か？ Q~(π)→Q~(π)~は、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（（予想）問題T1）
４）このようにして、Q~(代数的数)→C（複素数）の場合に、中間段階で超越基底Sn={s1,s2,s3,・・・,sn}→S(n+1)={s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1)}とするときに
代数閉包へ拡大 Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))→Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))~を考えることができる。
省12
257: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:30 ID:H8eM6+Di(5/21) AAS
>>253-256
全部書き直しました
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
259(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:50 ID:H8eM6+Di(7/21) AAS
Q(π) の代数的閉包を考えると、πに代数的従属な超越数はすべて含まれる。そういう数を、仮にπに同族の超越数と名付ける
そうすると、πというラベルで、同族の超越数の集合を考えることができる
>>255の３）の（（予想）問題T1）は、Q(π) の代数的閉包（それは実は、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~だと思うのですが）は、Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q~(π)~で、これが真の包含関係
だから、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えました
いやはや、むずいです（＾＾；
262(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)08:38 ID:H8eM6+Di(9/21) AAS
>>236 つづき
>>いまの現代数学の到達レベルが、Hamel 基底も超越基底も、同じ
>という解釈も間違っている。
ご指摘の点は、当たっている
これについては、>>255だな
つまり、”C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある”と
Hamel 基底も超越基底も、いまの現代数学の到達レベルでは、具体的にこれを構成することができない
省2
266(3): 263 2015/12/12(土)11:09 ID:F1RsZ/gB(3/5) AAS
>>255
３．は分かりづらいな・・。
> ３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大とは何か？ Q~(π)→Q~(π)~は、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（（予想）問題T1）
『Q~(π)→Q~(π)~は加算無限次の超越拡大』 というのは明らかにおかしい。
L~はLの代数拡大体の意味だよね。であるなら拡大Q~(π)~/Q~(π)は当然代数的で超越次数は0だよ。
273(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)15:09 ID:H8eM6+Di(15/21) AAS
>>271 補足
Q⊂Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q(π)~＝Q~(π)~⊂C
体の拡大
Q→Q(π) →Q~(π)→Q(π)~＝Q~(π)~→C
超越次数で
Q→Q(π)は、１
Q(π) →Q~(π)→Q(π)~＝Q~(π)~は、それぞれ０次
省4
274(2): 2015/12/12(土)16:10 ID:F1RsZ/gB(5/5) AAS
>>268
時間がないので2点だけコメントします。
> つまり、Q(√2,π,√π)の場合の超越基底は、√πであってπである。（√πとπは、代数的に従属だが、√πが選ばれるべき）
同意できない。超越拡大Q(√2,π,√π)/Qの超越基底は{π}でも{√π}でもよい。
なぜならQ(√2,π,√π)/Q(π)もQ(√2,π,√π)/Q(√π)も代数的だからだ。
言い換えれば、√2と√πはQ(π)係数多項式の根として生成でき、√2とπはQ(√π)係数多項式の根として生成できる。
よってどちらも超越基底だ。
省17
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