[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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254(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:20 ID:H8eM6+Di(2/21) AAS
２．これで済めば簡単だが、そうでもない。
”Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}では、具体的超越数は超越基底にできない。
（これを、Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的超越数不可定理と名付ける）”
（証明）
１）まず、π∈超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√π)^2だから、πは√πに変えられるべき。と同様に、π^(1/n) (＝n乗根)の方が適切だ。が、nはいくらでも大きく取れる。
２）同じ論法は、任意の超越数で成り立つ（常にn乗根の方が適切で、nはいくらでも大きく取れる）（n乗根だけでなく、n次の方程式の根も）
３）だから、具体的超越数は、より上位の超越数が存在するゆえ、超越基底にできない！
257: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:30 ID:H8eM6+Di(5/21) AAS
>>253-256
全部書き直しました
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
258: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:36 ID:H8eM6+Di(6/21) AAS
>>254 関連
”具体的超越数は超越基底にできない”となると、そういう集合とルベーグ測度とは相性が悪いのではと思う
TAさんのご指摘までは、Q~(代数的数)→C（複素数）の超越基底でも、有限次の超越拡大と同じような具体的数の超越基底をイメージして考えていました
が、大きくQ~(代数的数)→C（複素数）の超越基底のイメージが崩れました
261: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)08:06 ID:H8eM6+Di(8/21) AAS
>>236 ここに戻る
おっちゃんかな？
>>集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
>が間違っている。card(S)＝c である以上、こういう記述は出来ない。
当然、超限帰納法を念頭に書いたのだが、ご指摘のように適切ではない
特に、学生はやめた方が良い。「分かってない！」と思われるおそれがあるから。試験の採点では普通抗弁の機会がないし
が、厳密に書けば、下記のように、”任意の整列集合に対して”「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して」適用できる
省11
262(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)08:38 ID:H8eM6+Di(9/21) AAS
>>236 つづき
>>いまの現代数学の到達レベルが、Hamel 基底も超越基底も、同じ
>という解釈も間違っている。
ご指摘の点は、当たっている
これについては、>>255だな
つまり、”C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある”と
Hamel 基底も超越基底も、いまの現代数学の到達レベルでは、具体的にこれを構成することができない
省2
263(6): 2015/12/12(土)09:18 ID:F1RsZ/gB(1/5) AAS
>>253-254に関して
確認だが、超越基底という単語をスレ主は通常とは異なる定義で使っているよね？
>>224
> ４．これを繰り返し、Q~（s1,s2・・・）＝Cとなるように、集合{s1,s2・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
これを超越基底と呼ぶのはやめてほしい。"純超越基底"と呼ぶべきだ。
超越拡大が純超越的になるとは限らないから、いつでも純超越基底が取れるとは限らない。
特にR/Qは純超越的ではない。R/Q~が純超越的かどうかは分からない（非可算個ある超越数の代数的独立性を（俺が）知らないから）
271(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)13:10 ID:H8eM6+Di(13/21) AAS
>>266-267
>『Q~(π)→Q~(π)~は加算無限次の超越拡大』 というのは明らかにおかしい。
>L~はLの代数拡大体の意味だよね。であるなら拡大Q~(π)~/Q~(π)は当然代数的で超越次数は0だよ。
ああ、そうかも知れませんね
>>259 で書いたように、Q(π) の代数的閉包は、当然考えられて、それをQ(π)~で表す。一方、Q~(π)の代数的閉包も考えられて、Q~(π)~と表す。
Q⊂Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q(π)~＝Q~(π)~
でしょう
省3
273(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)15:09 ID:H8eM6+Di(15/21) AAS
>>271 補足
Q⊂Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q(π)~＝Q~(π)~⊂C
体の拡大
Q→Q(π) →Q~(π)→Q(π)~＝Q~(π)~→C
超越次数で
Q→Q(π)は、１
Q(π) →Q~(π)→Q(π)~＝Q~(π)~は、それぞれ０次
省4
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