[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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245(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:18 ID:aqTgmiKS(4/10) AAS
>>244 つづき
３．Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大では、陰に代数閉包、代数閉体の思想が潜んでいる
（C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある。）
１）上記２で、n乗根を考えたが、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)なるn次方程式も考えるべき
２）そうすると、Q~(π)の代数閉包Q~(π)~を考えて、すべてのπのQ~上代数的な数を取り込んだ体を考えた方が良いだろう
３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大は、Q~→Q~(π)~当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（予想−問題T1）
４）このようにして、Q~(代数的数)→C（複素数）の場合に、中間段階で超越基底Sn={s1,s2,s3,・・・,sn}→S(n+1)={s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1)}とするときに
省6
246: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:22 ID:aqTgmiKS(5/10) AAS
>>245 つづき
４．では、Q(有理数)→R（実数）の拡大ではどうか？ Q~の実数部分の部分集合をRe(Q~)、複素数体における超越数の集合をTとしてその実数部分の部分集合をRe(T)とする。
３と類似の論法が、実数の場合に成り立つ（予想−問題T3）。
（R（実数）は、代数閉体ではないが、一度複素数の空間に移動して、そこで３の論法を行って、それを実数に戻すことができるだろう。（予想−問題T3））
247: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:24 ID:aqTgmiKS(6/10) AAS
>>242-245
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
248: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)23:03 ID:aqTgmiKS(7/10) AAS
>>245 訂正
５）・・・・、代数閉体までの拡大を考えて、取り残しがないようにすることができる。
↓
５）・・・・、代数閉包までの拡大を考えて、取り残しがないようにすることができる。
追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
代数的閉包
省4
253(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:13 ID:H8eM6+Di(1/21) AAS
>>242-245 訂正が多いので、書き直し
１．有限次超越拡大のアナロジー
１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を（まちがって）πと考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「 πと√πは代数的独立ではないのでだめ。終わり」とはならない。「 πと√πを取り換えるべし」が正解。
３）∵π＝(√π)^2だから。そこで、一歩進めて、二つの超越数に対し s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
省3
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