[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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244(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:15 ID:aqTgmiKS(3/10) AAS
>>243 つづき
２．これで済めば簡単だが、そうでもない。
”Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で、具体的数は超越基底にできない。（Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的数不可定理と名付ける）”
（証明）
１）まず、π?超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√2)^2だから、√πに変えられるべき。と同様に、π^(1/n)(n乗根)の方が適切だ。が、nはいくらでも大きく取れる。
２）同じ論法は、任意の超越数で成り立つ（n乗根の方が適切で、nはいくらでも大きく取れる）
３）だから、具体的数（超越数）は、より上位の数が存在するゆえ、超越基底にできない！
245(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:18 ID:aqTgmiKS(4/10) AAS
>>244 つづき
３．Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大では、陰に代数閉包、代数閉体の思想が潜んでいる
（C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある。）
１）上記２で、n乗根を考えたが、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)なるn次方程式も考えるべき
２）そうすると、Q~(π)の代数閉包Q~(π)~を考えて、すべてのπのQ~上代数的な数を取り込んだ体を考えた方が良いだろう
３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大は、Q~→Q~(π)~当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（予想−問題T1）
４）このようにして、Q~(代数的数)→C（複素数）の場合に、中間段階で超越基底Sn={s1,s2,s3,・・・,sn}→S(n+1)={s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1)}とするときに
省6
247: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:24 ID:aqTgmiKS(6/10) AAS
>>242-245
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
252: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)23:16 ID:aqTgmiKS(10/10) AAS
>>244 訂正
１）まず、π?超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√2)^2だから、
↓
１）まず、π∈超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√π)^2だから、
訂正が多い
おっちゃんと同じだ（＾＾；
253(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:13 ID:H8eM6+Di(1/21) AAS
>>242-245 訂正が多いので、書き直し
１．有限次超越拡大のアナロジー
１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を（まちがって）πと考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「 πと√πは代数的独立ではないのでだめ。終わり」とはならない。「 πと√πを取り換えるべし」が正解。
３）∵π＝(√π)^2だから。そこで、一歩進めて、二つの超越数に対し s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
省3
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