[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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243(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:10 ID:aqTgmiKS(2/10) AAS
まずこれから
１．有限次超越拡大のアナロジー
１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を√2とπ考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「πと√πは代数的独立ではないのでだめだから、終わり」とはならない。「πと√πを取り換えるべし」が正解。
３）∵π＝(√2)^2だから。そこで、一歩進めて、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
省3
244(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:15 ID:aqTgmiKS(3/10) AAS
>>243 つづき
２．これで済めば簡単だが、そうでもない。
”Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で、具体的数は超越基底にできない。（Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的数不可定理と名付ける）”
（証明）
１）まず、π?超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√2)^2だから、√πに変えられるべき。と同様に、π^(1/n)(n乗根)の方が適切だ。が、nはいくらでも大きく取れる。
２）同じ論法は、任意の超越数で成り立つ（n乗根の方が適切で、nはいくらでも大きく取れる）
３）だから、具体的数（超越数）は、より上位の数が存在するゆえ、超越基底にできない！
247: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)22:24 ID:aqTgmiKS(6/10) AAS
>>242-245
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
250(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/11(金)23:07 ID:aqTgmiKS(8/10) AAS
>>243 訂正
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を√2とπ考えたとする。
↓
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底をπ考えたとする。
３）∵π＝(√2)^2だから。
↓
３）∵π＝(√π)^2だから。
253(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:13 ID:H8eM6+Di(1/21) AAS
>>242-245 訂正が多いので、書き直し
１．有限次超越拡大のアナロジー
１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を（まちがって）πと考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「 πと√πは代数的独立ではないのでだめ。終わり」とはならない。「 πと√πを取り換えるべし」が正解。
３）∵π＝(√π)^2だから。そこで、一歩進めて、二つの超越数に対し s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
省3
268(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)12:41 ID:H8eM6+Di(10/21) AAS
>>263-267
TAさん、どうも。スレ主です。
１．当面>>224は忘れて下さい。
２．超越基底の定義について>>263で、>>253の有限次超越拡大の場合には一致しているということで良いですか？
つまり、Q(√2,π,√π)の場合の超越基底は、√πであってπである。（√πとπは、代数的に従属だが、√πが選ばれるべき）
言い換えれば、超越基底はQ(√2,π,√π)を表現できるように選ばれるべき。
有限次超越拡大にあっては、超越基底を選択して、それで拡大体を表現したときに、取り残しがあってはいけない。
省5
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