[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
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174(8): 128 2015/12/05(土)10:10 ID:LiQZNRZu(1/3) AAS
なにやら書き方が悪かったようなので補足する。
定理4は、次の定理から即座に従う。
定理 (Steinhaus theorem) A⊂R はルベーグ可測で、m(A)＞0 だとする。
このとき、あるε＞0が存在して、(−ε,ε) ⊂ { a−b｜a,b∈A } が成り立つ。
一応、これを使って示しておく。
定理4の証明 「 Q(S)はルベーグ非可測」ならば、それでよい。
以下、Q(S)はルベーグ可測としてよい。「 Q(S)はゼロ集合」ならば、それでよい。
省5
176(1): 2015/12/05(土)11:41 ID:g8DDoHnr(8/15) AAS
>>174
シュタインハウスは知っていたんだがなぁ。
Q(S)は体だから当然差集合Q(S)-Q(S)を含むわな。
言われてみれば当たり前の話だな。
とっさに適用できないのは付け焼刃の知識だからだ。
またも反省させられたよ。
178: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)17:50 ID:eSmTZwF/(10/25) AAS
>>174
どうも。スレ主です。メンターさん、ありがとう
>>176
どうも。スレ主です。
TAさんの”、測度の等式のつもりだった”>>172が正解だったってことだね
179(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)17:59 ID:eSmTZwF/(11/25) AAS
>>174
定理 (Steinhaus theorem) か、和文では適当な文献を見つけることができなかったな
で、英文 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Statement
Let A be a Lebesgue-measurable set on the real line such that the Lebesgue measure of A is not zero. Then the difference set
A-A={a-b | a,b∈ A } ,
contains an open neighbourhood of the origin.
省3
180(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:11 ID:eSmTZwF/(12/25) AAS
>>179 つづき
ここは初学者も来るので、正確に書くと
>>174
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」、Kが可測で「 Kはゼロ集合」「 m(K)＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。
>>128
省4
182(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:20 ID:eSmTZwF/(13/25) AAS
>>174 つづき
>よって、(−ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。
>というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。
英文 外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”がそれに相当するのか・・・
最初、この英文を読んだときには、意味が分からなかったが、メンターさんの証明で意味が分かった
省1
201(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)22:04 ID:eSmTZwF/(24/25) AAS
>>198
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう
シュタインハウスの定理ね
メンターさんが使ったSteinhaus theorem>>174 >>179だね
”補題2：任意のハメル基底Hは正のルベーグ測度をもつ部分集合をもたない。”、”補題2は有名”か・・・
そう言われれば、それを聞いたことがある気もするが、浮かばなかったね・・・（＾＾；
207(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)09:24 ID:FrVQLg+h(2/10) AAS
AA省
237(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)12:53 ID:FrVQLg+h(9/10) AAS
AA省
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