現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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128(24): 2015/12/04(金)00:07 ID:RzONiyCo(1) AAS
>>127
定理1　RのQ上の超越基底は、もしルベーグ可測ならばゼロ集合である。
定理2　RのQ上の超越基底であって、ルベーグ可測なものが存在する。
定理3　RのQ上の超越基底であって、ルベーグ非可測なものが存在する。
定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
(オマケ　定理5　体 K⊂R であって、ルベーグ非可測なものが存在する。)

「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例」
省3

131: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/04(金)06:39 ID:iKyM1/y1(1/2) AAS
>>128
どうも。スレ主です。
これ面白いですね。
すぐには理解できないが（＾＾；

134(2): 2015/12/04(金)08:18 ID:rW5UfAym(2/9) AAS
>>128-130
いっぺん本物の専門家にメールかなんかで相談してみたらいいのに。
みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？

まぁ濃度なんてあんまり実用性がない概念にいつまでもしがみついてこれで証明になる！って威張ってる方がおかしいんだろうけど。

154(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/04(金)23:52 ID:xWy1Dtoe(3/4) AAS
ところで、>>128について
みんな、あっさり認めるのか？（＾＾；

数学では証明が無ければ、真と認めないとか、大口叩くけど
おまいら、証明分かって言っているのか？（＾＾

ID:RzONiyCoさんに、証明とか出典とか教えて貰わなくていいのか？
自分で証明できるとでもいうつもりか？（＾＾；

155(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/04(金)23:59 ID:xWy1Dtoe(4/4) AAS
さらに、>>128について

定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
　↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例」
は、どれも知らない。
省4

163(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)07:55 ID:eSmTZwF/(2/25) AAS
>>158
>「 Q(S)＝R 」>>128

ここをちょっと突っ込ませて貰うと

１．まず復習から、普通の学部の代数学では、例えば、Qに√2を添加した拡大体Q(√2)で、代数拡大。
２．Qにπを添加した拡大体Q(π)は、超越拡大。超越基底はπで、超越次数は１
３．そして、両方を添加したQ(√2,π)という拡大体も考えられる。これも、超越基底はπで、超越次数は１
４．「超越基底は常に存在する。とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。」
省12

168(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)08:47 ID:eSmTZwF/(5/25) AAS
>>163 補足

１．Q(S)＝R が成立するということは、任意のQ上の代数的数a∈Aに対して、a=f(s1,s2,・・・） | fはQ係数多項式
　　が成り立つということでは？
２．明らかに、Q(√2,π)>>163では、√2＝f(π）という多項式は存在しない ∵両辺を自乗すれば、2＝f(π）^2となって、πが超越数に反する
３．だから、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない
４．超越次数が無限なら？よく分かりません。が、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という
　外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 体の拡大
省2

171: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)09:06 ID:eSmTZwF/(8/25) AAS
>>155で「おまいら、試されているんじゃないのか？」と言った

私スレ主は、>>128には、すんなり納得できない部分があるんだよね
これが、数学的にきちんと説明ないし証明できるなら、私よりレベル上と認定します！！（＾＾；
では

172(1): 2015/12/05(土)09:09 ID:g8DDoHnr(6/15) AAS
>>168
ふふスルドイねぇ物理出身のスレ主は。
>>128の『Q(S)=R』は、俺の考えでは解釈は2通りかな。
・悪い省略記法
・測度の等式のつもりだった

174(8): 128 2015/12/05(土)10:10 ID:LiQZNRZu(1/3) AAS
なにやら書き方が悪かったようなので補足する。
定理4は、次の定理から即座に従う。

定理 (Steinhaus theorem)　A⊂R はルベーグ可測で、m(A)＞0 だとする。
このとき、あるε＞0が存在して、(－ε,ε) ⊂ { a－b｜a,b∈A } が成り立つ。

一応、これを使って示しておく。

定理4の証明　「 Q(S)はルベーグ非可測」ならば、それでよい。
以下、Q(S)はルベーグ可測としてよい。「 Q(S)はゼロ集合」ならば、それでよい。
省5

180(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:11 ID:eSmTZwF/(12/25) AAS
>>179 つづき
ここは初学者も来るので、正確に書くと

>>174
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
　 ↓
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」、Kが可測で「 Kはゼロ集合」「 m(K)＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。

>>128
省4

181(2): 128 2015/12/05(土)18:20 ID:LiQZNRZu(2/3) AAS
>>180
「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。

(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。

184(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)18:37 ID:eSmTZwF/(15/25) AAS
>>181
>「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
>「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。
>(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。

ここを少し深掘りする

１．>>163 >>168で書いたように、普通の教科書の拡大体の理論では、代数拡大があって、次に超越拡大という順で教える
２．で、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない。つまり、「Q(√2,π)は純超越的ではない」といえる
省3

186(1): 128 2015/12/05(土)18:52 ID:LiQZNRZu(3/3) AAS
AA省

192: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/05(土)21:14 ID:eSmTZwF/(19/25) AAS
>>182 ここに戻る

ここは初学者も来るので

英文外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”

”proper subgroup ”は分かるよね
だから、これと>>128の定理4　RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
省1

203(8): 128 2015/12/06(日)07:29 ID:nAIWzbvn(1/7) AAS
ありゃ。もしかして、これだけでよかったりする？

命題　RのQ上の超越基底Sに対して、√2∈R－Q(S) が成り立つ。特に、Q(S)≠R である。

証明　まず、次が成り立つことに注意する。

Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる, f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 }

(固定されたnと固定された s_1,…,s_n を考えるのではなく、nは正整数全体を動き、s_1,…,s_n も任意に取るという意味)
省3

206(1): 128 2015/12/06(日)09:23 ID:nAIWzbvn(2/7) AAS
>>205
＞card(S)＝c だから、「g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)」という表記は出来ず、

何いってるんだ。「できる」だろ。直接的に示してもいいし、
wikipediaの「体の拡大」の項目にもある。以下、wikipedia より。

＞一般に、有限とは限らない集合 E を添加するとき、
＞k(E)＝lim_{ →_F } k(F)＝∪_F k(F)
＞となる。ただし、F は包含関係による帰納系と見た E の有限部分集合全体を動く。
省6

207(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)09:24 ID:FrVQLg+h(2/10) AAS
AA省

210(2): 128 2015/12/06(日)09:39 ID:nAIWzbvn(3/7) AAS
>>208-209
修正したところで何を問題視しているのか意味不明。
>>203のような表記は「できる」。理由は>>206に書いた。

214(2): 128 2015/12/06(日)10:02 ID:nAIWzbvn(4/7) AAS
>>212
言っている内容が意味不明。
なにやらQ[S]を持ち出しているようだが、そのQ[S]は

Q[S]＝{ f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_1,…,s_n∈S, f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n] }

と表現できることは理解してる？より誤解がないように書けば

Q[S]＝ ∪[n∈N] { f(s_1,…,s_n)｜s_1,…,s_n∈S, f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n] }

こうなるわけだが。あるいは
省2

217(1): 128 2015/12/06(日)10:15 ID:nAIWzbvn(5/7) AAS
>>216
そこまで理解してるくせに>>203の書き方が理解できないことが意味不明。
もしかして、こういうことを言いたいのか？

↓

Q(S) の元αは、一般的には α＝g(r_1,…,r_m) / f(s_1,…,s_n) という形で書くのであり、
分母と分子に出現するSの元は一般的には異なっていて、その個数も一般的には異なっていて、
だから分母には「 s_1,…,s_n 」を使い、分子には「 r_1,…,r_m 」を使う、といった
省2

222(2): 128 2015/12/06(日)10:35 ID:nAIWzbvn(6/7) AAS
>>219
何が言いたいのか全然わからん。もう面倒くさいから証明形式にする。
>>203の書き方ができることを以下で証明する。示すべきは

＞Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる, f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 }

という書き方である。"⊃" は明らかだから、"⊂" のみ示す。
α∈Q(S) を任意に取る。α＝b/a を満たす a,b∈Q[S] が取れる。>>214の

＞Q[S]＝{ f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_1,…,s_n∈S, f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n] }
省12

228(1): 128 2015/12/06(日)11:24 ID:nAIWzbvn(7/7) AAS
>>227
まるで会話になっていない。お前は>>203の表現について「できない」とイチャモンをつけていたのであり、
俺はそれに対して「>>203の表現はできる」と反論していたのである。>>203の表現が「できる」ことは
もはや明らかであり、証明は>>222で与えた。従って、お前が俺に対して行うことのできるレスは

・確かに>>203の表現は可能だった。俺が間違っていた。

の1通りしかない。それ以外のレスは「会話になっていない」。
お前は>>219で唐突に「別の話題」を持ち出し、>>203の表現がどうこうという話をやめてしまった。
省6

237(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/06(日)12:53 ID:FrVQLg+h(9/10) AAS
AA省

282(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/13(日)06:11 ID:+cm1d/we(1/3) AAS
AA省

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