[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/

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82: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/30(月) 02:15:10.12 ID:c1Picbtv 前スレ668のおっちゃんの証明が素通りされていた。再掲しておく。 668 １３２人目の素数さん sage 2015/11/28(土) 08:54:42.73 ID:gImjm0uw >>655 体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。 仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を 完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して 何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に 可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を 任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。 しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、 矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、 (Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、 体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は 自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる 自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。 しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包 は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。 これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/82

84: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/30(月) 02:57:58.90 ID:c1Picbtv >>83はあまり本質的な指摘ではなかった。 >>82 > 体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包 は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。 >これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。 ここはまったく意味わからん。 なんでm(K)＝0になるんだ？ >Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。従って、 Kの1点部分集合xの閉包が1点集合になるという一般的事実と、Kのルベーグ測度との間になんの関係があるんだ？ http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/84

85: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/30(月) 08:46:49.01 ID:EI/m42sT >>84 >>82の主に前半(「ところが」までの部分)は、 >体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。 >仮に或る開区間 I に対して、K∩I を完備とすると、体Kは通常の加減乗除について >閉じているから、K∩I のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、 >或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な閉区間 [-ε,ε] を構成 >出来る。従って、加減乗除の操作を任意に可算無限回施すと、[-ε,ε] から >実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を任意に可算無限回施すと >KからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。しかし、KはRの真部分集合で >Rとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、矛盾が生じる。 >従って、如何なる開区間 I⊂R に対しても、(Q(S))(k) と I の共通部分 K∩I は完備とはならない。 と訂正。単に開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0)を一般の開区間 I にしただけ。 本題に戻る。任意の完備な順序体は実数体Rに同型である。上の議論から、Kは完備ではなく、 Rに同型ではない順序体。距離空間としてのKは、直線R上完備ではなく かつ 連結ではないから、 Kは直線R上至る所不連結な体である。しかし、体 Q(S)、K＝(Q(S))(k) は自己稠密集合である。 従って、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。 Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。 従って、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。 これは、はじめに背理法の枠組みで m(Q(S))＞0 と仮定していることに反する。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/85

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