[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/

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54: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/29(日) 08:44:51.61 ID:SasjpBzo >>53 つづき totally bounded >>52 https://en.wikipedia.org/wiki/Totally_bounded_space Totally bounded space In topology and related branches of mathematics, a totally bounded space is a space that can be covered by finitely many subsets of any fixed "size" (where the meaning of "size" depends on the given context). The smaller the size fixed, the more subsets may be needed, but any specific size should require only finitely many subsets. A related notion is a totally bounded set, in which only a subset of the space needs to be covered. Every subset of a totally bounded space is a totally bounded set; but even if a space is not totally bounded, some of its subsets still will be. Definition for a metric space A metric space (M,d) is totally bounded if and only if for every real number ε >0, there exists a finite collection of open balls in M of radius ε whose union contains M . Equivalently, the metric space M is totally bounded if and only if for every ε >0, there exists a finite cover such that the radius of each element of the cover is at most ε. This is equivalent to the existence of a finite ε-net.[1] 参考 日wiki https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E6%9C%89%E7%95%8C%E7%A9%BA%E9%96%93 全有界空間 位相幾何学および関連する数学の分野において、全有界空間（ぜんゆうかいくうかん、英: totally bounded space）とは、・・・ http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/54

55: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/29(日) 09:09:47.28 ID:SasjpBzo >>54 つづき complete metric space https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93 完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。 位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。 例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。 引用おわり http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/55

64: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/29(日) 12:01:34.64 ID:SasjpBzo >>59-60 どうも。スレ主です。 >超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。 なるほど >>62 "言いたかったことは、超越基底をU(ε)に閉じ込めたというなら、 その空間への閉じ込められ方によってmは変化する可能性があるのでは、 ということです。あとでεを変えるのであれば注意が必要だということです。 スレ主の論法で矛盾が引き出せたとしても、暗黙のいくつかの仮定のうち、 どれが誤った仮定だったのかを論じなければならない、と思うのです。" １．確かに、そういうところが、甘いかも ２．だから、「超越基底はコンパクトではない」とか、「超越基底は連続した区間を占めない」＊）とか、少し超越基底の性質を論じておく方がすっきりするかも 　　＊）s1≠s2 | s1,s2 ∈{超越基底}ならば、有理数の稠密性から、s1とs2の間にかならずある有理数が入るから、「超越基底は連続した区間を占めない」 ３．あと、２のように、連続しない（離散した）超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる＊＊）ってことも 　　＊＊）s1≠s2 | s1,s2 ∈{超越基底}で、s1-s2=Lとして、有理数qで割れば、s1/q-s2/q=L/q。つまり、s1とs2の間隔が、1/qに相似形で圧縮できる 　（有理数qで割っているから、{超越基底}としての本質は変わっていない） ４．ここらをすっきりさせる数学的表現を私ができないだけで、”{超越基底}は零集合”の証明は、実質終わっていると思います 追伸 ・εとmの関係は、δεみたいな関係でもあり、>>54のTotally bounded space のεの使い方も同じようなものと理解しています ・いま思うと、上記３の「超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる」を先に証明しておく方が良いかと思います。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/64

65: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/29(日) 12:29:39.20 ID:SasjpBzo >>63 >>１）the complement of a union of open sets：yes >結論から言うと答えはnoだと思う。 >yesだと超越基底はコンパクトになってしまう。 ああ、そうなのか。よく分からんので、代案として >>54 Totally bounded space を使いたいがどうですか？ Definition for a metric space A metric space (M,d) is totally bounded if and only if for every real number ε >0, there exists a finite collection of open balls in M of radius ε whose union contains M . Equivalently, the metric space M is totally bounded if and only if for every ε >0, there exists a finite cover such that the radius of each element of the cover is at most ε. This is equivalent to the existence of a finite ε-net.[1] https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%A8%E6%9C%89%E7%95%8C%E7%A9%BA%E9%96%93 全有界空間 例と例外 実数直線、あるいはより一般の（有限次元）ユークリッド空間の部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。これはアルキメデスの性質より従う。 コンパクト性と完備性の関係 全有界性とコンパクト性の間には、次の良い関係が存在する： すべてのコンパクト距離空間は、全有界である。 一様空間がコンパクトであるための必要十分条件は、それが全有界であって、コーシー完備であることである。これはユークリッド空間から任意の空間へのハイネ・ボレルの被覆定理の一般化と見なされる：その場合、有界性を全有界性に（そして閉性をコンパクト性に）代える必要がある。 全有界性とコーシー完備化の間には相互補完的な関係がある。すなわち、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、そのコーシー完備化が全有界であることである（これは、ユークリッド空間においてある集合が有界であることと、その閉包が有界であることは同値という事実に対応する）。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/65

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