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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net (747ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
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29: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/28(土) 19:25:58.84 ID:novsUjda >>24 （ああ、コテとageが抜けていたね（＾＾； ） どうも。スレ主です。 一つ気になるのだが、下記超越拡大で、”超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる”に同意する？ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 超越拡大 T/k に対し、T の k 上代数的独立な元からなる部分集合 B で拡大 T/k(B) が代数的となるとき、B は T / k のあるいは T の k 上の超越基または超越基底（ちょうえつきてい、transcendencial basis）という。 ツォルンの補題（T が k 上有限生成の場合は帰納法）により、超越基底は常に存在する。 とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。 また、超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できるので、これを T の k 上の超越次数（ちょうえつじすう、transcendencial degree）あるいは次元（じげん、dimension）といい、degkT あるいは trans.degkT などと表す。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/29
30: １３２人目の素数さん [sage] 2015/11/28(土) 19:54:47.69 ID:V49WFVhA >>29 >一つ気になるのだが、下記超越拡大で、”超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる”に同意する？ 何が言いたいんだまったく。同意するに決まってるだろ。 スレ主こそ有限次拡大のときに納得するのか？ スレ主は>>10で下の文言をwikiから引っ張ってきたよな。 「Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。」 πもeもQ上超越的な数だ。 スレ主の論理ではQ(S)がπとeの両方を含まなければならないらしいが、 wikiはQ上の超越次数は2ではなく1かもしれないと言っている。 これはS={π}もしくはS={e}で代数拡大Q(π, e)/Q(S)が得られるかもしれない、という意味だ。 Q(π,e）という代数拡大体を得るために、Q(S)が必ずしもすべての超越数（ここではπとe）を含むとは限らないんだよ。 http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/30
57: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/11/29(日) 09:47:18.29 ID:SasjpBzo >>56 つづき 超越基底のルベーグ可測はyesについては、上でカントール集合にならって示した さて、それが0についてだが １．任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48が、ある有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする ２．簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[r-ε, r+ε](ｒは開球の中心)のルベーグ測度は、2εとなる ３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ ４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾 ５．よって、m=0。つまり、零集合となる、ある超越基底が存在する ６．ところで、超越次数を思いだそう。”すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。”>>29や下記 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%AC%A1%E6%95%B0 ７．従って、零集合となる、ある超越基底が存在するならば、すべての超越基底も同じ性質を持ち、零集合となる。 （ここ細部は詰めてないけど、”すべての超越基底は同じ濃度をもつ”と同じ筋で証明できるよ、多分（＾＾； ） http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/57
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