現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17 [転載禁止]©2ch.net

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253(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:13 ID:H8eM6+Di(1/21) AAS
>>242-245 訂正が多いので、書き直し

１．有限次超越拡大のアナロジー
　１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
　２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を（まちがって）πと考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「 πと√πは代数的独立ではないのでだめ。終わり」とはならない。「 πと√πを取り換えるべし」が正解。
　３）∵π＝(√π)^2だから。そこで、一歩進めて、二つの超越数に対し s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
　　（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
　４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
省3

254(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:20 ID:H8eM6+Di(2/21) AAS
２．これで済めば簡単だが、そうでもない。
　　”Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}では、具体的超越数は超越基底にできない。
　　（これを、Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的超越数不可定理と名付ける）”
（証明）
　１）まず、π∈超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√π)^2だから、πは√πに変えられるべき。と同様に、π^(1/n) (＝n乗根)の方が適切だ。が、nはいくらでも大きく取れる。
　２）同じ論法は、任意の超越数で成り立つ（常にn乗根の方が適切で、nはいくらでも大きく取れる）（n乗根だけでなく、n次の方程式の根も）
　３）だから、具体的超越数は、より上位の超越数が存在するゆえ、超越基底にできない！

255(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:27 ID:H8eM6+Di(3/21) AAS
３．Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大では、陰に代数閉包、代数閉体の思想が潜んでいる
　（言い換えれば、C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある。）
　１）上記２で、n乗根を考えたが、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)なるn次方程式も考えるべき
　２）そうすると、Q~(π)の代数閉包Q~(π)~を考えて、すべてのπのQ~上代数的な数を取り込んだ体を考えた方が良いだろう
　３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大とは何か？ Q~(π)→Q~(π)~は、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（（予想）問題T1）
　４）このようにして、Q~(代数的数)→C（複素数）の場合に、中間段階で超越基底Sn={s1,s2,s3,・・・,sn}→S(n+1)={s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1)}とするときに
　　　代数閉包へ拡大 Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))→Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))~を考えることができる。
省12

256(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:28 ID:H8eM6+Di(4/21) AAS
４．では、Q(有理数)→R（実数）の拡大ではどうか？　Q~の実数の部分集合をRe(Q~)、複素数体における超越数の集合をTとしてその実数の部分集合をRe(T)とする。
　　上記３と類似の論法が、実数の場合に成り立つ（（予想）問題T3）。
　（R（実数）は、代数閉体ではない。が、一度複素数の空間に移動して、そこで３の論法を行って、それを実数に戻すことができるだろう。

257: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:30 ID:H8eM6+Di(5/21) AAS
>>253-256

全部書き直しました
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；

258: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:36 ID:H8eM6+Di(6/21) AAS
>>254 関連

”具体的超越数は超越基底にできない”となると、そういう集合とルベーグ測度とは相性が悪いのではと思う
TAさんのご指摘までは、Q~(代数的数)→C（複素数）の超越基底でも、有限次の超越拡大と同じような具体的数の超越基底をイメージして考えていました
が、大きくQ~(代数的数)→C（複素数）の超越基底のイメージが崩れました

259(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)06:50 ID:H8eM6+Di(7/21) AAS
Q(π) の代数的閉包を考えると、πに代数的従属な超越数はすべて含まれる。そういう数を、仮にπに同族の超越数と名付ける
そうすると、πというラベルで、同族の超越数の集合を考えることができる

>>255の３）の（（予想）問題T1）は、Q(π) の代数的閉包（それは実は、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~だと思うのですが）は、Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q~(π)~で、これが真の包含関係
だから、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えました

いやはや、むずいです（＾＾；

261: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)08:06 ID:H8eM6+Di(8/21) AAS
>>236 ここに戻る

おっちゃんかな？

>>集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
>が間違っている。card(S)＝c である以上、こういう記述は出来ない。

当然、超限帰納法を念頭に書いたのだが、ご指摘のように適切ではない
特に、学生はやめた方が良い。「分かってない！」と思われるおそれがあるから。試験の採点では普通抗弁の機会がないし
が、厳密に書けば、下記のように、”任意の整列集合に対して”「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して」適用できる
省11

262(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)08:38 ID:H8eM6+Di(9/21) AAS
>>236 つづき

>>いまの現代数学の到達レベルが、Hamel 基底も超越基底も、同じ
>という解釈も間違っている。

ご指摘の点は、当たっている
これについては、>>255だな
つまり、”C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある”と

Hamel 基底も超越基底も、いまの現代数学の到達レベルでは、具体的にこれを構成することができない
省2

268(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)12:41 ID:H8eM6+Di(10/21) AAS
>>263-267
TAさん、どうも。スレ主です。

１．当面>>224は忘れて下さい。
２．超越基底の定義について>>263で、>>253の有限次超越拡大の場合には一致しているということで良いですか？
　　つまり、Q(√2,π,√π)の場合の超越基底は、√πであってπである。（√πとπは、代数的に従属だが、√πが選ばれるべき）
　　言い換えれば、超越基底はQ(√2,π,√π)を表現できるように選ばれるべき。
　　有限次超越拡大にあっては、超越基底を選択して、それで拡大体を表現したときに、取り残しがあってはいけない。
省5

269(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)12:43 ID:H8eM6+Di(11/21) AAS
>>268 訂正

つまり、Q(√2,π,√π)の場合の超越基底は、√πであってπである。
　↓
つまり、Q(√2,π,√π)の場合の超越基底は、√πであってπではない。

270: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)12:53 ID:H8eM6+Di(12/21) AAS
>>268-269
TAさん、どうも。スレ主です。

>R/Q~が純超越的かどうかは分からない（非可算個ある超越数の代数的独立性を（俺が）知らないから）>>263

C/Q~で考えた方が良い。それでどうですか？
Q~⊂Cだ。Q~→Cは、体の拡大。超越拡大以外にありえない。超越数を順次添加して、体を拡大する。そうして、Q~からCへ達する。
その超越拡大を、超越基底という切り口でみたときに、超越基底は非加算無限あるよと
非加算無限あるというために、”Q~からCへ達する”は外せない
省1

271(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)13:10 ID:H8eM6+Di(13/21) AAS
>>266-267
>『Q~(π)→Q~(π)~は加算無限次の超越拡大』というのは明らかにおかしい。
>L~はLの代数拡大体の意味だよね。であるなら拡大Q~(π)~/Q~(π)は当然代数的で超越次数は0だよ。

ああ、そうかも知れませんね
>>259 で書いたように、Q(π) の代数的閉包は、当然考えられて、それをQ(π)~で表す。一方、Q~(π)の代数的閉包も考えられて、Q~(π)~と表す。
Q⊂Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q(π)~＝Q~(π)~
でしょう
省3

272: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)13:14 ID:H8eM6+Di(14/21) AAS
>>263
>確認だが、超越基底という単語をスレ主は通常とは異なる定義で使っているよね？

通常とは異なる定義で使っているつもりはないが、
議論がかみ合わないので
TAさんの、超越基底の定義を書いてください

273(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)15:09 ID:H8eM6+Di(15/21) AAS
>>271 補足

Q⊂Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q(π)~＝Q~(π)~⊂C
体の拡大
Q→Q(π) →Q~(π)→Q(π)~＝Q~(π)~→C

超越次数で
Q→Q(π)は、１
Q(π) →Q~(π)→Q(π)~＝Q~(π)~は、それぞれ０次
省4

275(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)18:37 ID:H8eM6+Di(16/21) AAS
>>274
TAさん、どうも。スレ主です。

>Q(√2,π,√π)/Qにおいて、体の演算の範囲でπおよび√πが生成できることを
>超越基底の必要条件にするのは一般的な超越基底の定義ではない。スレ主独自の定義だ。
>その独自定義を振りかざされると混乱するし、その定義を知らなければ間違っていると思われても仕方ない。

そうでした。ご指摘の通りです。「Q(√2,π,√π)/Qにおいて、体の演算の範囲でπおよび√πが生成できること」を定義に入れていました。
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org は、読んでなかったが、よく分かりました
省5

276(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)20:15 ID:H8eM6+Di(17/21) AAS
>>275
分かりました（＾＾；

"L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。
S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。"
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超越次数（ちょうえつじすう、英: transcendence degree）は抽象代数学において、体の拡大 L /K の「大きさ」のある種のかなり粗いはかり方である。
きちんと言えば、K 上代数的に独立な L の部分集合の最も大きい濃度として定義される。
省8

277(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)20:29 ID:H8eM6+Di(18/21) AAS
>>276
ようやく分かりました（＾＾；

"L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。
S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。"

「L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である」だから
Q(√2, π)の代数拡大から代数閉包までを考え、Q(√2, √π)の代数拡大から代数閉包までを考えると、両者の代数閉包は一致するってことですね

で、Ｑ→Ｃにおける超越基底Ｓは、Ｑ(Ｓ)を代数拡大してＣ（代数閉体）になるようにＳを取るべしと
省1

278(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)20:40 ID:H8eM6+Di(19/21) AAS
>>277
超越基底Ｓを使って、Ｑ→Ｃを実現する、いや実現しなければならない
そこまで一緒だったんだけど

"L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。
S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。"
という立場は、 K(S)の後にさらに代数拡大をして、L が得られれば良いと

対して、私は、Ｓの添加だけで、Lが得られるように考えていた
省1

279(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)20:43 ID:H8eM6+Di(20/21) AAS
すっきりしました
ＴＡさん、ありがとうございました（＾＾；

281: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/12/12(土)21:13 ID:H8eM6+Di(21/21) AAS
詳しくないです
が、なにかあれば書いてみて
ここは、私だけでなく、メンターさん、ＴＡさん、おっちゃんなど、タレントぞろいだから（＾＾；

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